武汉大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章（6-3）信号的正交函数分解

§6.3信号的正交函数分解 正交矢量 正交函数 正交函数集 帕塞瓦尔定理

1 §6.3信号的正交函数分解 •正交矢量 •正交函数 •正交函数集 •帕塞瓦尔定理

正交矢量 矢量:V1和V2参加如下运算,是它们 的差,如下式: 122 已 V, 12′2 12′2 1222

2 一、正交矢量 矢量：V1 和 V2 参加如下运算， 是它们 的差，如下式： V Ve V1 − c1 2 2 = V1 V1 V1 V2 V2 V2 Ve Ve Ve 12V2 c 12V2 c 12V2 c Ve

12=hosa、 vV2 cos 0 V12 C12表示V和V,互相接近的程度 当V,V,完全重合,则日=0,c12=0 随夹角增大,C12减小; 当6=90,c2=0,V1和V2相互垂直

3 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 cos . cos V V V V VV c V =V = =   2 2 1 2 12 . V V V c = c12 表示 V1 和 V2 互相接近的程度 当 ， 完全重合，则 随夹角增大， 减小； 当 ， 和 相互垂直 V1 V2  = 0,c12 = 0 12 c 90 , 0 = c12 = o  V1 V2

+7+7 二维正交集 维正交集

4 V = Vx + Vy V = Vx + Vy + Vz V V Vx Vx Vy Vz Vy 二维正交集 三维正交集

二、正交函数 f()≈c12/2()(t1<t<t2) f1(t)-c124)1t 令d=0则误差能量2最小

5 二、 正交函数 令 则误差能量 最小 ( ) ( ) ( ) 1 12 2 1 2 f t  c f t t  t  t f t c f t dt t t t t 2 1 1 2 2 1 2 2 [ ( ) ( )] ( ) 1 2 1 − − =   0 12 2 = dc d 2 

f1(t)-c12.f2()]2dt=0 12 f12()d-2f1()f2(t)db t 12 +2c1212()dt=0 f(tf(t)dt 解得 f2(tdt 6

6 [ ( ) ( )] 0 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 − =  −  f t c f t dt dc t t d tt f t dt f t f t dt dcd t t tt tt ( ) 2 ( ) ( ) 1 1 2 21 2 1 1 2 2 2 1    −  −  + = 21 2 ( ) 0 2 1 2 2 tt c f t dt 解得   = 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) 22 1 2 1 2 tt tt f t dt f t f t dt c

正交条件 若C12=0,则f(t)不包含/2()的分 量,则称正交 正交的条件: fi(t),(tdt =o

7 正交条件 若 ， 则 不包含 的分 量，则称正交。 正交的条件： c12 = 0 ( ) 1 f t ( ) 2 f t ( ) ( ) 0 2 1 1 2 =  t t f t f t dt

正交条件 若C12=0,则f(t)不包含/2()的分 量,则称正交 正交的条件: fi(t),(tdt =o

8 正交条件 若 ， 则 不包含 的分 量，则称正交。 正交的条件： c12 = 0 ( ) 1 f t ( ) 2 f t ( ) ( ) 0 2 1 1 2 =  t t f t f t dt

例 +1(0<t<丌) f(t)= -1(z<t<2z) 试用sint在区间(0,2丌)来近似f() 2丌 0

9 例： 试用sint 在区间（0，2 ）来近似    −   +   = 1 ( 2 ) 1 (0 ) ( )    t t f t   4 1  2 t 0 - 1  4 f (t)

解 C-J f(t)sin tdt 2兀 sin tdo sin tdt+(sin t )dt n JO 兀 所以:f(t)≈ 4 sin t

10 解： tda f t tdt c   =   20 2 20 12 sin( )sin   = + −     2 0 [ sin ( sin ) 1 tdt t dt 4 =f t sin t 4 ( )  所以： 