武汉大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 连续时间系统的时域分析（4/5）

计算卷积的方法 1用圈解波计算卷积 分段时限 2用画数式计算卷积 癢积积分限 3划用性质计算卷积 4数值解店

*计算卷积的方法 1.用图解法计算卷积 2.用函数式计算卷积 3.利用性质计算卷积 4.数值解法 分段时限 卷积积分限

私含展的确定v()=eM(=)=edr 右法 h(-z)→>非零值下限是-?卷积分下限是零 l(z)→>非零值下限是0 h(t-z)→>浓零值上限是t 积分上限是 l(z)→>浓零值上限是∞ 若雨个品數的左边界分剔苟血血右边界分别为t,积分的 下限为max[tntm1;积分的上限min[tr,tnl

*.积分限的确定:      r t e h t d e d t t    − − − = − = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 方法一: −  t * 0  h(t − ) e( ) 若两个函数的左边界分别为tl1,tl2,右边界分别为 tr1,tr2,积分的 下限为max[tl1,tl2];积分的上限为min[tr1,tr2]. ( ) 0 ( ) 非零值下限是 非零值下限是－ → − →    u h t 卷积分下限是零 →  − → 非零值上限是 非零值上限是 ( ) ( )   u h t t 卷积分上限是t

*计第*/2=∫f()1(-)dr fi(t) ● f2(t) b t-20t1 解:1.-∞0≤t≤0 2 t-2 重合面积为零:;f(t)*f(t)=0 t-2 2..0≤t≤1 0 f*2=f()2(t-D)dz ■

解:1. −  t  0 重合面积为零:f1(t)*f2(t)=0 2...if ..0  t  1 a 0 t-2 1 f f f ( ) f (t  )d 1  2 = 1 2 −   − * 0 a 1 f1(t) t f f f ( ) f (t  )d  1  2 = 1 2 −   − 计 算 f2(t) t 0 2 b a t-2 0 t 1 t-2 0 1 t 0 t-2 1 t 

ab b (t-tdr 2 4 4 3.jf.1≤t≤2 ab f*f2=a0(t-r)dr=-(t-)2 0 4 b (2t-1) 4 4.yf.2≤t≤3 b f1*厂2 (t- tdt ab ab ■■■■■■■■■■■■■■■■■ (t-r)21 (3+2t-t 4 5..3≤≤0…千*2=0 0.25ab ■■■■■■

t t t ab t d b a 0 2 0 ( ) 4 ( ) 2 = −  = − −  2 4 t ab = 3...if ..1  t  2 a t-2 0 t 1 t-2 0 1 t 1 0 2 1 0 1 2 ( ) 4 ( ) 2  = −  = − −  t ab t d b f f a (2 1) 4 = t − ab 4...if ...2  t  3 0 t-2 1 t t  d b f f a t ( ) 2 1 2 1  2 = −  − (3 2 ) 4 ( ) 4 1 2 2 2 1 t t ab t ab t = − − = + − −  5... ...3 .......... 0 1 2 if  t   f  f = 0 1 2 3 0.25ab

结语:若f(t)与f(有限宽度的歟冲*的面积为和動面 积之积,f的宽度为f和宽度之和qkt-1)- 右店二利用门画直接计算卷积分 GMk[(t-t1)-t1]=(-t1)n(t-t 7>t u(t-t,) 07 森达式的推导

结语:若f1(t)与f2(t)为有限宽度的脉冲,f1*f2的面积为f1和 f2面 积之积, f1*f2的宽度为f1和 f2宽度之和. 方法二.利用门函数直接计算卷积分 [( − ) − ] = ( − ) ( − − ) t k j i i j G t t t u t u t t ( − − ) = j u t t 1 j   t − t 0 j   t − t Gt k [(t − t j ) − t i ] = 1 0 i j t    t − t i   t j   t − t *.表达式的推导 0 i t j t − t [( ) ] tk j i G t − t − t  i t ( ) i u  − t  ( ) j i u t − t − t j t − t  >ti u( − t i ) = 1 <ti  0 

1将被卷积的雨个画数邱(t)和h(t)都裘示成单笸阶跃u(t)移 加权之和 f()=>f()(-t1) (1) 1 h()=∑h()(t-t)…(2) 1 其中f(t)和h(t)分删是f(t)的第i段和h(t)的第j段数学森达 式t和分别是f(t)和h的起点 2将(1)和(2)代入卷积公式 f*h=C()(-1)∑(t=)m(t-x=1)r =∑∑∫()(-)L(z=1)(--1,)dr J= 由以上讨论可知:

1.将被卷积的两个函数f(t)和 h(t)都表示成单位阶跃u(t)移 位加权之和. ( ) ( ) ( )..........(1) 1 i p i i f t = f t u t −t = ( ) ( ) ( )......(2) 1 j q j j h t = h t u t − t = 其中fi(t)和hj(t)分别是f(t)的第i段和h(t)的第j段数学表达 式.ti和tj分别是fi(t)和hj(t)的起点. 2.将（1）和（2）代入卷积公式: f h f  u t t h t  u t  t d j q j i j p i i [ ( ) ( )][ ( ) ( )] 1 1  = −  − − −   =  − = f t h t  u  t u t  t d j i j p i q j i ( ) ( )[ ( ) ( )] 1 1 =  − − − −  = =  − 由以上讨论可知:

得出卷积积分的上下隈和定义城如下: f*h=∑∑Jf()h(-)da(t-1-t) 例题:设h(t)=e"l(t)f(1)=elu(t)-4(t-1 求系统的zS,.解: y(1)=f*h=f( th(t-rdt c-e-2(-)dm(t) y e2(t-tdn(t (e-e2)(t)+(e2(-)-2t+1)(t-1) 设系统是因杲的但激励是非因果的,h(t)=e(t) f()=e-()求y u(-t) l(-)=l(t+∞)-l(t) y,=f*h=le 2e(-nd(t+∞) ette -du(t)

得出卷积积分的上下限和定义域如下: ( ) ( ) ( ) 1 1 j i j p i q j t t t i f h f h t d u t t t j i  =  − − −  = = −    例题:设 ( ) ( ) 2 h t e u t − t = ( ) = ( ) − 4 ( −1) − f t e u t t u t t 求系统的z.s.r. 解:    =  = − = − − − − − − −  − t t t t f y t f h f h t d e e d u t e d u t 1 2( ) 2( ) 0 ( ) ( ) (  )   ( ) 4  ( 1)    ( ) ( ) ( 2 1) ( 1) 2 2( 1) = − + − + − − − − − e e u t e t u t t t t 设系统是因果的,但激励是非因果的, h(t) e u(t) −t = ( ) ( ) 2 f t e u t t = − 求yf(t). u(-t) u(−t) = u(t + ) − u(t) ( ) ( ) ( ) 0 2 ( ) 2 y f h e e d u t e e d u t t t t t f    − −  − − −  =  = +  −

e lu(t +oo)u(tl+ u(t=eu()+eu(t) 3 3 3 f2 3 计算*fq 解 fi=alu(t -ut t+1)|u(t+ *=∑∫/2(z)1(=)mt(t-1-1) t=1;(t=0,t=1) t=-1;(t=0,t=1) f2* +1)v(+1)-l(x-1)(t-7)-l(t-7-1)dr ab 2 (+1)-J()-J(=1)+=2)z+1dr

( ) 3 1 ( ) 3 1 ( ) 3 1 [ ( ) ( )] 3 1 2 2 e u t u t e u t e u t e u t t −t t −t = +  − + = − + 解: [ ( ) ( 1)] f 1 = a u t −u t − ( 1)[ ( 1) ( 1)] 2 2 = t + u t + − u t − b f ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 i j i j t t t f f f f t d u t t t j i  =  − − −  = = −    ti=1;(tj=0,tj=1) ti=-1;(tj=0,tj=1)   −  =  + u  + − u  − u t − − u t − − d ab f f ( 1)[ ( 1) ( 1)][ ( ) ( 1)] 2 2 1     − − − − = + − − − + − + 1 1 1 1 1 1 {[ ( 1) ( ) ( 1) ( 2)][ 1]} 2 t t t t u t u t u t u t d ab   1 2 计算f  f 0 1 * f1 f2 -1 1 a b

ab (t+1) (+1)-tl(t) 4 (t+3)(+1)(-1)+(t-4)(-2)

( 3)( 1) ( 1) ( 2)] [ ( 1) ( ) 4 ( 4) ( 1) 2 2 2 − + + − + − = + − − − + t t u t u t u t u t ab t t t

下式错在哪里? (t-1)*[(t-2)-l(t-3) l(z-1)n(t-x-2)dz-|(x-1)n(t-z-3)dr ∫dz-∫dr=(-2-1)-(-3-1)=1错 错在忽略了定义域,正确的解法为 ∫ada(-2-1)-∫da(t-3-1) (t-3)(t-3)-(t-4)(t-4)

( 2 1) ( 3 1) 1 ( 1) ( 2) ( 1) ( 3) ( 1)*[ ( 2) ( 3)] * 2 1 3 1 = − = − − − − − = − − − − − − − − − − − =     − −  −  − d d t t u u t d u u t d u t u t u t t t         下式错在哪里？ ( 3) ( 3) ( 4) ( 4) ( 2 1) ( 3 1) 2 1 3 1 = − − − − − = − − − − −   − − t u t t u t d u t d u t t t   错在忽略了定义域，正确的解法为 错