东南大学：《信号与线性系统》课程教学资源（课件讲稿，第四版）第三章 信号分析（3.4-3.5）

Chapter3信号分析 s3-4周期信号的频谱 由三角形式f(1) p+∑ A cOS(n9t-gn) 2 幅度谱An 相位谱 n_2,n=0,1…(半边谱 或由指数形式f()=∑2em2 幅度谱An/2 相位谱 ±1,+2…(双边谱 东南大学移动通信国家重点实验室

东南大学移动通信国家重点实验室 Chapter 3 信号分析 §3-4 周期信号的频谱 由三角形式 ∑ ∞ = = + Ω − 1 0 cos( ) 2 ( ) n n n A n t A f t ϕ n A n 相位谱 ϕ 幅度谱 ~ n Ω , n = 0,1 L （半边谱） 或由指数形式 ∑ ∞ = −∞ Ω • = n n jn t e A f t 2 ( ) n A n 相位谱 ϕ 幅度谱 / 2 ~ n Ω , n = 0,± 1,± 2 L （双边谱）

周期信号频谱的例子 f(t) T T 2 ∴f(t)为偶函数 实函数,为 A cos ns2m4A.ngτ2Aτ,n!τ SIn C nOt τ/2 东南大学移动通信国家重点实验室

东南大学移动通信国家重点实验室 1． 周期信号频谱的例子 ∵ f （ t）为偶函数 ∴ A n = a n & 实函数，为 ) 2 ( 2 2 sin 4 cos 2 / 2 / 2 τ Ω τ = Ω τ Ω = Ω = ∫ τ − τ n Sa T n A n T A A n tdt T A n &

sIn x 其中,Sa(x) ,称为抽样( Sample)函数,如图所示 牧: saoo 东南大学移动通信国家重点实验室

东南大学移动通信国家重点实验室 其中， x x Sa x sin ( ) ∆ = ，称为抽样（Sample）函数，如图所示： 故：

Am0(2)在m2M.k=土1+2…处为过零点。 2Aτ,n2τ t 设T=4τ 则f(t)的幅度谱与相位谱分别如下: (图示于黑板上) 注:由于An=an为实函数,两谱可合 东南大学移动通信国家重点实验室

东南大学移动通信国家重点实验室 ) 2 ( 2 τ Ω τ = n Sa T A A& 在 , 1, 2 L 2 = ± ± τ π Ω = k k n 处为过零点。 设 T = 4 τ 则 f(t)的幅度谱与相位谱分别如下： （图示于黑板上） 注：由于 n n A = a & 为实函数，两谱可合一

2.周期信号频谱的特点 (1)离散性:离散频率(时域中周期→频域中离散); (2)谐波性:只在谐波频率n2上; (3)收敛性:n取足够大,其余高频分量可以忽略。 3.有效频宽(占有频宽)B (1)A最大值的1/10为限;(对单调递减型频谱) (2)第一个过零点,如本例中B=2x →*B℃=常数 (3)总功率90%为限。(可由后述 Parseval定理求) 东南大学移动通信国家重点实验室

东南大学移动通信国家重点实验室 2． 周期信号频谱的特点 （ 1 ） 离散性：离散频率 （时域中周期 →频域中离散）； （ 2 ） 谐波性：只在谐波频率 n Ω 上； （ 3 ） 收敛性： n 取足够大，其余高频分量可以忽略。 3． 有效频宽（占有频宽）B （ 1 ） A n最大值的 1/10 为限； (对单调递减型频谱) （ 2）第一个过零点，如本例中 ⇒ τ π = 2 B * B τ = 常数 （ 3）总功率 90%为限。（可由后述 Parseval 定理求）

波形变化时频谱的变化 (1)T不变,℃改变:→>谱线间隔Ω不变,过零点0=一变: ①τ|=0bV,有效频宽内谱线数 zT2=92,只剩下4项;即只有直流4/2 ⑨τ=↑,谱线数个。特别是:→>00-∞ 东南大学移动通信国家重点实验室

东南大学移动通信国家重点实验室 4． 波形变化时频谱的变化 （ 1 ） T 不变， τ改变： ⇒ 谱线间隔 Ω不变，过零点 τ π ω = 2 0 变： ① τ↑⇒ω0 ↓，有效频宽内谱线数 ↓ → = = Ω τ π τ ω 2 , T 0 ，只剩下 A0项；即只有直流 A0 /2 ② τ↓⇒ω0 ↑，谱线数 ↑。特别是： τ → 0, ω0 → ∞；

(2)τ不变,T改变→00不变,变 T→g2↑有效频带内谱线数↓ →T→→00= 2爪g2→直流 T↑→>gJ ②→特别是7→∞,g→dD,A→无穷小量 但各分量有相对大小且:f()→>非周期 东南大学移动通信国家重点实验室

东南大学移动通信国家重点实验室 （ 2 ） τ 不变， T 改变 ⇒ ω 0 不变， Ω 变 ① 直流 频带内谱线数 ⇒ → ⇒ = = Ω ⇒ ↓→ Ω ↑ ↓ τ π τ ω 2 有效 T 0 T ② ⇒ 特别是 → ∞ Ω → → 无穷小量 ↑→ Ω ↓ An T d T & , ω, 但各分量有相对大小且： f ( t ) → 非周期

3-5非周期信号的频谱:傅立叶变换 傅立叶正、反变换 由 f7(t) e-m2.g=2丌/T 2 27/2 f(te n dt T T/2 (取f()= lim f(t)时a→无穷小量 为使A不为无穷小量,则定义反映各分量相对大小的量 FCnQ2) 2/T 东南大学移动通信国家重点实验室

东南大学移动通信国家重点实验室 §3-5 非周期信号的频谱：傅立叶变换 一、 傅立叶正、反变换 由 ∑ ∞ = −∞ − Ω = Ω = n n jn t T e T A f t , 2 / 2 ( ) π & ( ( ) lim ( ) ) ( ) 2 / 2 / 2 取 = 时 → 无穷小量 = → ∞ − − Ω ∫ T n T T T jn t n f t f t A f t e dt T A & & 为使 An & 不为无穷小量，则定义反映各分量相对大小的量 T F jn A n 2 / ( ) & Ω =

FGo=lim FGirQ2) T- ,称为非周期信号的频谱密度函数, o >do n Q>o 简称频谱。 FCa)=lim f(t)e dt=f(t)e / adt T -ao T/2 n Q->o 东南大学移动通信国家重点实验室

东南大学移动通信国家重点实验室 令 ( ) = lim ( Ω)       Ω→ Ω→ →∞ F j F jn n d T ω ω ω ，称为非周期信号的频谱密度函数， 简称频谱。 ∴ ∫ ∫ ∞ − ∞ − − − Ω       Ω → Ω → →∞ F j = f t e dt = f t e dt j t T T jn t n d T ω ω ω ( ω) lim ( ) ( ) / 2 / 2

又由: f(t=lim fr(t)=lim ∑ n onset T→>o 2 im∑ F(m_) e inset T T 2兀代入 2丌 ∑ FOnQ2)e/nQ2 Q→dO n2→>O FReda 2丌 东南大学移动通信国家重点实验室

东南大学移动通信国家重点实验室 又由： ∑ ∑ ∞ =−∞ Ω → ∞ ∞ =−∞ Ω → ∞ → ∞ Ω = = = n jn t T n n jn t T T T e T F jn e A f t f t ( ) lim 2 ( ) lim ( ) lim & ∫ ∑ ∞ − ∞ ∞ =−∞ Ω       Ω → Ω → → ∞ Ω = = = Ω Ω ω ω π π ω ω ω π F j e d F jn e j t n jn t n d T T ( ) 2 1 lim ( ) 2 1 2 代入