东南大学：《信号与线性系统》课程教学资源（课件讲稿，第四版）第十一章 线性系统的状态变量分析

第11章线性系统的状态变量分析 §11.1引 前面:输入输出法 本章:多输入多输出和内部状态→状态变量法: 数学方程矩阵形式,规范、简洁, 且可以推广到非线性、时变系统 重点状态/输出方程的建立 东南大学移动通信国家重点实验室

第 11 章 线性系统的状态变量分析 §11.1 引 言 前面：输入输出法 本章：多输入多输出和内部状态→状态变量法： 数学方程矩阵形式，规范、简洁， 且可以推广到非线性、时变系统。 重点：状态/输出方程的建立 东南大学移动通信国家重点实验室

§12系统的状态变量描述法 状态与状态变量 1.状态:储能状态 2.状态变量:一组数量最少的代表系统状态的 独立变量,x1(t)、x2(1)、……xn(D), 或用状态矢量X()=[x(x2(t)…xn(t)] 初始状态:X(to), 状态空间→维数=独立储能元件个数 系统阶数 东南大学移动通信国家重点实验室

一、 状态与状态变量 1． 状态：储能状态。 2． 状态变量：一组数量最少的代表系统状态的 独立变量， ( ) 1 x t 、 ( ) 2 x t 、…… x (t) n ， 或用 状态矢量 [ ] T n X (t) x (t), x (t) x (t) = 1 2 " 。 初始状态： ( ) 0 X t K ， 状态空间 ⇒ 维数 = 独立储能元件个数 = 系统阶数。 东南大学移动通信国家重点实验室 §11.2 系统的状态变量描述法

二、状态变量分析法及其步骤 1.把状态变量作为求解变量,用状态变量描述、 分析系统的方法。 2.两大步: (1)选状态变量,列写状态方程和输出方程。 状态方程:[()=AX()+B()(连续系统) 0rX(k+1)=AY(k)+B((离散系统) 东南大学移动通信国家重点实验室

二、 状态变量分析法及其步骤 1． 把状态变量作为求解变量，用状态变量描述、 分析系统的方法。 2． 两大步： （1） 选状态变量，列写状态方程和输出方程。 状态方程： ( ) ( ) ( ) ' X t AX t Be t K K K = + （连续系统） or X (k 1) AX (k) Be(k) K K K + = + （离散系统） 东南大学移动通信国家重点实验室

输出方程:Y()=CX()+De()(连续系统) or F(k)=CX(k)+D(k)(离散系统) X(n)是定解条件 (注意:若已知电路给出了初始储能,在建立 状态方程时不用考虑它,初态只是用来定解) (2)求解状态变量X(),得Y(t) 东南大学移动通信国家重点实验室

输出方程： Y (t) CX (t) De(t) K K K = + （连续系统） or Y(k) CX (k) De(k) K K K = + （离散系统） ( ) 0 X t 是定解条件 （注意：若已知电路给出了初始储能，在建立 状态方程时不用考虑它，初态只是用来定解） （2） 求解状态变量 X (t) K ，得Y (t) K 东南大学移动通信国家重点实验室

状态变量的选取 ●对连续系统(电网络)选全部的 独立的电感电流和电容电压。 而对I/0方程,系统函数→框图→ 选 所有积分器,延时器的输出。 东南大学移动通信国家重点实验室

三、 状态变量的选取 z 对连续系统（电网络）选全部的 独立的电感电流和电容电压 。 z 而对 I/O 方程，系统函数⇒框图⇒ 选 所有积分器，延时器的输出。 东南大学移动通信国家重点实验室

§11.3由输入一输出方程求状态方程 框图 1.直接型:规范、相变量法; 2.并联型:对角线变量法; 3.其它:没有一般性规律 东南大学移动通信国家重点实验室

§11.3 由输入-输出方程求状态方程 框图： 1． 直接型：规范、相变 量 法； 2． 并联型 ：对角线变量法； 3． 其它：没有一般性规律 。 东南大学移动通信国家重点实验室

简单系统的状态方程 例1:H(S)= 4s+10 2 s3+8s2+19s+12s+1s+3s+4 列写状态方程、输出方程。 解:(一)直接型框图一一相变量法 1.框图 2.选状态变量:x,x2,x3如图 东南大学移动通信国家重点实验室

一、 简单系统的状态方程 例 1： 4 2 3 1 1 1 8 19 12 4 10 ( ) 3 2 + − + + + = + + + + = s s s s s s s H s 列写状态方程、输出方程。 解：（一）直接型框图——相变量法 1．框图： 2．选状态变量： 1 2 3 x , x , x 如图。 东南大学移动通信国家重点实验室

3.列方程:{x2=x3 3=e-12x 19x2-8x3 y=10x1+4x2 4.写成标准形式: 0 10 0 001 +0e 12-19-8 y()=[040]x2|+0e 东南大学移动通信国家重点实验室

3．列方程： ′ = − − − ′ =′ =3 1 2 3 2 3 1 2 x e 12x 19x 8x x x x x 10 1 4 2 y = x + x 4．写成标准形式： e x x x x x x   +  − − − =  ′′′ 100 12 19 8 0 0 1 0 1 0 321 321 [ ] e x x x y t + ⋅   ( ) = 10 4 0 0 321 东南大学移动通信国家重点实验室

4.规律:(可推广到皿<n的一般情况) [A]:最后一行:特征多项式系数倒排且取负值, 对角线右上行全为1,其余为0 [B]:最后一个元素为1,其余为0 [C]:前(m+1)个元素是分子多项式系数倒排,其余为0 东南大学移动通信国家重点实验室

4． 规律：（可推广到 m < n 的一般情况） [A]：最后一行：特征多项式系数倒排且取负值， 对角线右上行全为 1，其余为 0 [B]：最后一个元素为 1，其余为 0 [C]：前（m+1）个元素是分子多项式系数倒排，其余为 0 [D]：=0 东南大学移动通信国家重点实验室

(二)并联型框图一一对角线变量法 1.框图 2.选状态变量:x1,x2,x3 已-x 3.列方程: 4x +x,-2 东南大学移动通信国家重点实验室

（二）并联型框图——对角线变量法 1．框图： 2．选状态变量： 1 2 3 x , x , x 3．列方程：   ′ = − ′ = − ′ = − 3 3 2 2 1 1 4 3 x e x x e x x e x 1 2 2 3 y = x + x − x 东南大学移动通信国家重点实验室