东南大学：《信号与线性系统》课程教学资源（课件讲稿，第四版）第二章 连续系统的时域分析 2.8 卷积及其性质 2.9 线性时不变系统响应的求解

第二章连续系统的时域分析 §28卷积及其性质 定义 两个函数f((),2(t)2-0<t<+0 则 f1(1)*2(1)=f1()/2(t-)dz 即求两函数f()和2(t-z)在公共非零区间上乘积函数 f(z)f2(t-)的代数净面积。 东南大学移动通信国家重点实验室

东南大学移动通信国家重点实验室 第二章 连续系统的时域分析 §2-8 卷积及其性质 一、 定义 两个函数 f1 ( t), f 2 ( t), − ∞ < t < + ∞ 则 ∫ +∞ − ∞ ∆ f ( t ) * f ( t ) = f (τ ) f ( t − τ ) dτ 1 2 1 2 即 求两函数 ( ) 1f τ 和 ( ) 2f t − τ 在公共非零区间上乘积函数 ( ) ( ) 1 2 f τ f t − τ 的代数净面积

二、卷积图解 例1:求图示两信号f1(t),f2()的卷积y(t)=f1()*f2(t) f1(t) f(1)=e(t t 0t1 0 f(t-) f()f(-z) 0 X-Axis ort 东南大学移动通信国家重点实验室

东南大学移动通信国家重点实验室 二、 卷积图解 例 1：求图示两信号 ( ), ( ) 1 2 f t f t 的卷积 ( ) ( ) * ( ) 1 2 y t = f t f t X-Axis X-Axis Y-Axis Y-Axis1 1 0 0 t t 1t 2 t ( ) 1 f t ( ) ( ) 2f t e t t ε − = X-Axis Y-Axis 0 1 ( ) 2f t − τ Y-Axis 0 1 ( ) ( ) 1 2 f τ f t −τ X-Axis 1t 2 t t τ τ

由 y(t)=|f1(z)2(-r)dr 讨论如下: (1)-∞∞,y(t)→>0 东南大学移动通信国家重点实验室

东南大学移动通信国家重点实验室 由 ∫ +∞ − ∞ y ( t ) = f (τ ) f ( t − τ ) dτ 1 2 讨论如下： （ 1 ） − ∞ < t < t 1 , y ( t ) = 0 （ 2 ） ( ) ( ) 1 2 1 1 , ( ) 1 1 t t t t t t t t y t e d e − − − − ≤ < = ∗ = − ∫ τ τ （ 3 ） ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 , ( ) ( 1 ) t t t t t t t t t y t e d e e − − − − − − ≤ < ∞ = − = − ∫ τ τ （ 4 ） t → ∞ , y ( t ) → 0

由上知: 图解步骤:选t,(1)f2反褶;(2)f2平移t;(3)在公共部分相乘;(4)积分 ∈求y(t)∈改变t 本例的另一种写法: y(t)=[l-eI(t-1)-(t-t2)]+|e(=2)-e(-)](-2) Ⅱ-e-1]E(t-1)-[1l -(t-12) [E(t-t2) 东南大学移动通信国家重点实验室

东南大学移动通信国家重点实验室 由上知： 图解步骤：选 t，（ 1 ） 2 f 反褶； （ 2 ） 2 f 平移 t ；（ 3）在公共部分相乘； （ 4）积分 ⇐ 求 y ( t ) ⇐ 改变 t 本例的另一种写法： ( ) [ 1 ][ ( ) ( )] [ ] ( ) 2 ( ) ( ) 1 2 ( ) 1 2 1 y t e t t t t e e t t t t t t t t = − − − − + − − − − − − − − ε ε ε [ 1 ] ( ) [ 1 ][ ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 2 e t t e t t t t t t = − − − − − − − − − ε ε

卷积的性质 1.代数运算性质 (1)交换律:f1()*f2(1)=f2(1)“厂1(t) →系统串联与子系统次序无关; f()*(2(1)+f3() (2)分配律:=f()*(0)+f()*(O) →系统并联等效; 东南大学移动通信国家重点实验室

东南大学移动通信国家重点实验室 三、卷积的性质 1． 代数运算性质 （ 1 ） 交换律： ( ) * ( ) ( ) * ( ) 1 2 2 1 f t f t = f t f t ⇒ 系统串联与子系统次序无关； （ 2 ） 分配律： ( ) * ( ) ( ) * ( ) ( ) * ( ( ) ( )) 1 2 1 3 1 2 3 f t f t f t f t f t f t f t = + + ⇒ 系统并联等效；

(H1(s) h2(t) e(t) r(t) E(S)) (R(S) H2(s))∈().h2( 东南大学移动通信国家重点实验室

东南大学移动通信国家重点实验室 ( ) 1 h t ( ) 2 h t e ( t ) ( ) * ( ) 1 e t h t ( ) * ( ) 2 e t h t r ( t ) ( ( ) ) 1 H s ( ( )) 2 H s ( E ( s)) ( R ( s))

由 r(t)=e(t)*h1(t)+e(t)*h2(t) e(t)求[h1(t)+h2( 得等效图: e(t) r(t) (0=h(0)+h() (H1(s)+H2(s)) 东南大学移动通信国家重点实验室

东南大学移动通信国家重点实验室 由 ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 e t h t h t r t e t h t e t h t = ∗ + = ∗ + ∗ 得等效图： ( ) ( ) ( ) 1 2 h t = h t + h t e ( t ) r ( t ) ( ( ) ( ) ) 1 2 H s + H s

(3)结合律:方1 2 →系统串联等效; r=(e*h1)*h2 e(t e(t)*h1(t) h1(t) →h2(t) (E(S) (H1(S)) (H2(S)) (R(S)) 相当于: e(t) h(t)=h1(1)*h2( (H1(S)·H2(s)) 生:回顾(1)结论(∵h1*h,=h,*h1∴h1,h2的顺序无关紧要 东南大学移动通信国家重点实验室

东南大学移动通信国家重点实验室 （ 3）结合律： 1 2 3 1 2 3 f * ( f * f ) = ( f * f ) * f ⇒ 系统串联等效； ( ) 1 h t ( ) 2 h t e ( t ) ( ) * ( ) 1 e t h t * ( * ) ( * ) * 1 2 1 2 e h h r e h h = = ( ( ) ) 1 H s ( ( ) ) 2 H s ( E ( s ) ) ( R ( s ) ) 相当于： ( ) ( ) * ( ) 1 2 h t = h t h t e ( t ) r ( t ) ( ( ) ( ) ) 1 2 H s ⋅ H s 注：回顾（ 1）结论 （∵ 1 2 2 1 h * h = h * h ∴ 1 2 h , h 的顺序无关紧要）

2.微积分性质 dfi (1)微分:dt f1*f2]=*2=f1米 dt (2)积分: f1(x)*f2(x)x=[f1(x)x-]*f2(t) =f()*/2(x)d] 东南大学移动通信国家重点实验室

东南大学移动通信国家重点实验室 2． 微积分性质 （ 1 ） 微分： dt df f f dt df f f dt d 2 2 1 1 1 2 [ * ] = * = * （ 2 ） 积分： ( ) * [ ( ) ] ( ) * ( ) [ ( ) ] * ( ) 1 2 1 2 1 2 ∫ ∫ ∫ − ∞ − ∞ − ∞ = = t t t f t f x dx f x f x dx f x dx f t

(3)微积分综合: 05()0641(x=(4 恒等的条件:f(-∞)=0 f2( 0)= 东南大学移动通信国家重点实验室

东南大学移动通信国家重点实验室 （ 3）微积分综合： dt df f x dx f x dx dt df f t f t t t 2 2 1 1 1 2 ( ) * ( ) * ( ) ( ) * ∫ ∫ − ∞ − ∞ = = 恒等的条件： ( ) 0 f1 − ∞ = ( ) 0 f 2 − ∞ =