东南大学：《信号与线性系统》课程教学资源（课件讲稿，第四版）第五章 连续时间系统的复频域分析（5.6）（单边）拉氏变换的主要性质

Chapter5连续时间系统的复频域分析 §5-6(单边)拉氏变换的主要性质 设 f(ta(t)<> F(s 注意:f(t)本身不一定是单边

Chapter 5 连续时间系统的复频域分析 § 5-6 （单边）拉氏变换的主要性质 设 f (t)ε(t) ↔ F(s) 注意： f (t) 本身不一定是单边 东南大学移动通信国家重点实验室

1.线性性质 a,f+a,f2<>a,Fi+a2F 收敛域一般情况下是公共部分 2.尺度变换 f(at E( +F a>0 推广到双边:a≠0,f()分F

1． 线性性质 1 1 2 2 a1 F1 a 2 F2 a f + a f ↔ + 收敛域一般情况下是公共部分 2． 尺度变换 ( )()   ε ⇔ as F a f at t 1 a>0 推广到双边： a ≠0， ( ) 1 ( ) as F a f at ↔ 东南大学移动通信国家重点实验室

3.时移(延时)性质 f(t-t0)(t-t)F(s)e0 注意:f(t)()两者都需延时t 4.复频移 ef(O)e()<>F(S-S)收敛轴平移

3． 时移（延时）性质 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 t st f t t t t F s e ← → − − − 有限 ε 双边时： 0 ( ) ( ) 0 st f t t F s e ↔ − − 注意： f (t)ε(t) 两者都需延时 0 t 4． 复频移 ( ) ( ) ( )0 0 e f t t F s s s t ε ↔ − 收敛轴平移 东南大学移动通信国家重点实验室

5.时域微分性 单边:f(D)()>sF()-f(0) f"(t)(t)<>s2F(s)-sf(0-)-f(0)… f(O)(0)<>S"F(s)-s"f(0)-s2f"(0)…-fm(0

5． 时域微分性 单边： ( ) ( ) ( ) (0 ) − f ′ t ε t ↔ sF s − f ( ) ( ) ( ) (0 ) (0 ) 2 − − f ′′ t ε t ↔ s F s − sf − f ′ …… ( ) ( ) ( ) (0 ) (0 ) (0 ) ( ) −1 − −2 − ( −1) − ε ↔ − − ′ − n n n n n f t t s F s s f s f L f 东南大学移动通信国家重点实验室

6.时域积分性 f∫(z)dz)E(t)<> F(S) 0 注意:引入了s=0处的附加极点,收敛域 可能会变 般情况下: f(rdr a(t) f(r)dr+h f(r)dr a(t) f(e)dT F(s S

6． 时域积分性 ∫ − ↔ t s F s f d t 0 ( ) ( (τ ) τ )ε ( ) 注意：引入了 s=0 处的附加极点， 收敛域 可能会变 一般情况下： s F s s f d f d t f d f d t t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ↔ +   = +   ∫ ∫ ∫ ∫ − − − −∞ −∞ −∞ τ τ τ τ ε τ τ τ τ ε 东南大学移动通信国家重点实验室

7.复频域微积分 (1)微分(-t)f(t)E(t) dF(s) ds 般(-t)"f(t)8(1) (n)f(s) 12 ds (2)积分 1)(x)F(x) 条件: im f(t)=0

7． 复频域微积分 （1）微分 ds dF s t f t t ( ) ( − ) ( )ε ( ) ↔ 一般 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n ds F s n d t f t t − n ε ↔ （2）积分 ∫ ∞ ↔ s t F x dx t f t ( ) ( ) ( ) ε 条件： lim ( ) 0 0 = → f t t 东南大学移动通信国家重点实验室

例 E(t)= e at E() 2 ls ta s+a Sa(1)e()= sint&(t) 例2: t<> dx=arctos=t g sx2+1 2 例3: Si()(t)=1sa(z)dr(1)4 S

例 1： [ ] 3 ( ) 1 2 22 ( ) 2 ( ) ( ) 2 α α ε α ε α + = + = − − ↔ − s s dsd t t t t e t t e 例 2： ∫∞ − = − = + ↔ = s s dx arctgs tg x t t t Sa t t 1 1 2 1 sin ( ) ( ) ( ) 1 2 π ε ε 例 3： s tg s Si t t Sa d t t 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 ↔ −   = ∫ ε τ τ ε 东南大学移动通信国家重点实验室

8.初值与终值定理 初值定理:已知F(s)求f(0): f(0=limS(s) S→>0 条件:F(S)是真分式,否则去掉多项式部分。 如:F(S)= +1 2<>8(t)-sin tE(t) s+ 有: f(0+)=0 lim SF(s=lim 3 → S→o s→∞s2+1 lim SFI(s)=lim s→Os2+1 0与时域结果一致

8． 初值与终值定理 初值定理：已知F(s) 求 (0 ) + f ： f (0 ) limsF(s) s→∞ + = 条件：F(s)是真分式，否则去掉多项式部分。 如： ( ) sin ( ) 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 t t t s s s F s ↔ δ − ε + = − + = 有： (0 ) = 0 + f 但： → ∞ + = → ∞ → ∞ 1 lim ( ) lim 2 3 s s sF s s s 而： 0 1 lim ( ) lim 2 1 = +− = →∞ →∞ s s sF s s s 与时域结果一致 东南大学移动通信国家重点实验室

终值定理:已知F(s)求f(∞)终值: f(∞)= lim se(s) 条件:∫()确实存在终值 即:F(s)极点均在s左半平面,最多还有在原点的单阶 极点

终值定理：已知 F (s) 求 f (∞ ) 终值： ( ) lim ( ) 0 f sF s s→ ∞ = 条件： f (t)确实存在终值 即：F(s)极点均在 s 左半平面，最多还有在原点的单阶 极点。 东南大学移动通信国家重点实验室

0 lim SF(S=0 S→>0 0 (参考S平面极点分布)

例：  = ⇒ ∞ = 不存在 10 f (t) e (t) f ( ) tε α 000 α > α = α α = α < （参考 s 平面极点分布） 东南大学移动通信国家重点实验室