西安建筑科技大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第8章 参数估计 8.2 估计量的评价标准

82估计量的评价标准 从上节可以看到,对于同一个参数,用不同的估计方法 求出的估计量可能不相同,那么那一个估计量好? 好坏标准是什么?下面介绍几个常用的评价标准 10无偏性 设θ=(X1,X2,…,X)是θ的估计量,若θ的数学期望 等于,即Eθ=日,则称θ是θ的无偏估计量 若x xn是样本X1,X2,…,Xn的一个观测值,则 称0(x1,x2…,xn)是θ的无偏估计值. 若Eθ≠日,则称偏差E-为该估计的系统误差 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 8.2 估计量的评价标准 1 2 ˆ ˆ ˆ ( , , , ) , ˆ ˆ , , . X X X n E          = = 设 是 的估计量 若 的数学期望 等于 即 则称 是 的无偏估计量 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , ˆ ( , , , ) . n n n x x x X X X   x x x 若 是样本 的一个观测 无偏 则 称 是 的 估计值 值 1 o 无偏性 从上节可以看到, 对于同一个参数, 用不同的估计方法 求出的估计量可能不相同,那么那一个估计量好？ 好坏标准是什么?下面介绍几个常用的评价标准. ˆ ˆ 若E E      − , . 则称偏差 为该估计的系统误差

20有效性 设61=(X1,K2,…,Xn)与2=日2(X1,X2,…,X,)都是 参数θ的无偏估计量,若DQ10,有 lim P18-8k8=1 或 X1,X2,…,Xn->日(n→>∞) 则称(X1,X2,…,X)是0的一致估计(或相合估计) 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 2 o 有效性 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ( , , , ) ( , , , ) ˆ ˆ ˆ ˆ , , . X X X X X X n n D D          = =  设 与 都是 参数 的无偏估计量 若 则称 较 有效 3 o 一致性 1 2 ˆ ( , , , ) ,    X X X n  若 的估计量 依概率收敛于 即 对 >0,有 | } 1 ˆ lim {| −  = →    n n P 1 2 ˆ ( , , , ) . 则称  X X X n 是 的一致估计(或相合估计) 1 2 ˆ ( , , , ) ( ) P   X X X n n ⎯⎯→ →  或

例1设X1,X2,…,X为来自X的样本,EX=p,DX=a2, 试判断下列统计量是否为的无偏估计量,是无偏估计时说 明它们的有效性 (1)X1(i=1,2…,m);(2)X=∑X;(3)Y=0.5X2+0.4X3 解(1)EX1=p,DX1=a2(i=1,2,…,n) 所以X1,X2,…,X都是的无偏估计量,且有效性相同; (2)Er. I EX=,DX=2∑DX 故X是μ的无偏估计量,且较X,X2…,Xn都有效 可以证明X是所有形如∑CA的的无偏估计中最有效的 (3)EY=0.5EX2+04EX3=0.9,故Y不是的无偏估计 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 2 1 2 , , , , , , , . X X X X EX DX n    设 为来自 的样本 = = 试判断下列统计量是否为 的无偏估计量 是无偏估计时说 明它们的有效性 例1 1 n i i i X C X  = 可以证明 是所有形如 的 的无偏估计中最有效的 2 3 1 1 (1) ( 1,2, , ) (2) ; (3) 0.5 0.4 n i i i X i n X X Y X X n = = = = + ；  2 (1) , ( 1,2, , ) EX DX i n i i = = =   1 2 , , , , 所以X X X n都是的无偏估计量 且有效性相同； 2 3 (3) 0.5 0.4 0.9 EY EX EX = + =  ,故Y不是的无偏估计. 1 1 (2) n i i EX EX n = = =   2 2 1 1 , n i i DX DX n n  = = =  1 2 , , , , 故X X X X 是的无偏估计量 且较 n都有效. 解

例2设X1,X2,…,Xn为来自X的样本,EX=,DX=a2 试判断样本二阶中心矩M2和样本方差S2是否为总体方差a2 的无偏估计 解EM;=E(M,-X2) EX.-EX 2IDX, +(EX, )1-[DX+(EX)I ∑[a2+2] n ES=E M;= EM n-1 故二阶中心矩M2不是σ的无偏估计,而S2是σ2的无偏估计 这正是人们把S2叫样本方差,而不把M2叫样本方差的原因 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 例2 2 1 2 2 2 2 , , , , , , . X X X X EX DX n M S    = =  设 为来自 的样本 试判断样本二阶中心矩 和样本方差 是否为总体方差 的无偏估计 解 2 2 2 2 2 1 1 ( ) n i i EM E M X EX EX n =  = − = −  2 2 1 1 [ ( ) ] [ ( ) ] n i i i DX EX DX EX n = = + − +  2 2 2 2 1 1 n n n i     =   = + − +          n 1 2 n  − = 2 2 2 2 1 1 n n ES E M EM n n    = = =       − − 2 2 2 2 故二阶中心矩M S 不是  的无偏估计,而 是 的无偏估计. 2 2 这正是人们把S M 叫样本方差,而不把  叫样本方差的原因

定理1对于任意的k(k=1,2,…),若总体X的k阶原 点矩EX存在,则样本的k阶原点矩M就是总体X的k阶原 点矩EX的一致估计量,即 X EX(n→>∞) 定理1表明:凡矩估计法做的估计都是一致估计! 由于样本二阶中心矩M2是总体方差DX的矩估计,而 样本方差S2 M2,故样本二阶中心矩M2和样本方差 S2都是其总体方差DX的一致估计 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） ( 1,2, ) , k k k k k X k EX k M X k EX 对于任意的 = ，若总体 的 阶原 点矩 存在 则样本的 阶原点矩 就是总体 的 阶原 点矩 的一致估计量,即 定理1 凡矩估计法做的估计都是一致估计！ 1 1 ( ) n k k P k i i M X EX n n = = ⎯⎯→ →   定理1表明： 2 2 2 2 2 , 1 M DX n S M M n S DX    − 由于样本二阶中心矩 是总体方差 的矩估计,而 样本方差 = 故样本二阶中心矩 和样本方差 都是其总体方差 的一致估计