西安建筑科技大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）实验2 报童的策略

报童的策略 某报童每天清晨从报社购进报纸零售,晚上 将没有卖掉的报纸退回。设一份报纸的购进价为b 元,零售价为a元,退回价为c元,应该自然地假设 为a>b>c。这就是说,报童售出一份报纸赚a-b 元,退回一份报纸赔b-c元。报童如果购进的报纸 太少,不够卖的,会少赚钱;如果购进太多,卖不 完,将要赔钱。请你为报童筹划一下,他应如何确 定每天购进报纸的数量,以获得最大的收入

报童的策略 某报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上 将没有卖掉的报纸退回。设一份报纸的购进价为b 元，零售价为a元，退回价为c元，应该自然地假设 为a＞b＞c。这就是说，报童售出一份报纸赚a－b 元，退回一份报纸赔b－c元。报童如果购进的报纸 太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不 完，将要赔钱。请你为报童筹划一下, 他应如何确 定每天购进报纸的数量, 以获得最大的收入

众所周知,报童应该根据需求量确定购 进量。而需求量是随机的,所以这是一个风险 决策问题。假定报童己经通过自己每天卖报的 经验或其他的渠道掌握了需求量的随机分布规 律,即在他的销售范围内每天报纸的需求量为 r份的概率是fr)(r=0,1,2,…),有了题目 中的a、b、c和函数(r)后,就可以建立关于购 进量的模型了

众所周知，报童应该根据需求量确定购 进量。而需求量是随机的，所以这是一个风险 决策问题。假定报童己经通过自己每天卖报的 经验或其他的渠道掌握了需求量的随机分布规 律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为 r份的概率是f(r)(r＝0，l，2，…)，有了题目 中的a、b、c和函数f(r)后，就可以建立关于购 进量的模型了

假设每天购进量为n份,因为需求量r是 随机的,r可以小于n等于n或大于n,这就导致 报童每天的收入也是随机的,所以作为优化模 型的目标函数,不能是报童每天的收入函数, 而应该是他长期卖报的日平均收入。 从概率论大数定律的观点看,这相当于报 童每天收入的期望值,以下称它为平均收入 记报童每天购进n份报纸时的平均收入为G(mn)

从概率论大数定律的观点看，这相当于报 童每天收入的期望值，以下称它为平均收入。 记报童每天购进n份报纸时的平均收入为G(n)。 假设每天购进量为n份，因为需求量r是 随机的，r可以小于n等于n或大于n，这就导致 报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模 型的目标函数，不能是报童每天的收入函数， 而应该是他长期卖报的日平均收入

如果这天的需求量rn,则n份将全部售出,赚(a-b)n。 考虑到需求量为r的概率f(r所以: G(n)=∑[a-b)-(b-cm-m)/() nla r=n+1 问题转化为求适当的购进量n,使G(m)最大

考虑到需求量为r的概率f(r)所以： G(n)＝ = − − − − n r a b r b c n r f r 0 [( ) ( )( )] ( )   = + − 1 ( ) ( ) r n ＋ n a b f r 问题转化为求适当的购进量 n, 使 G(n) 最大. 如果这天的需求量r＜n，则他售出r份，赚 (a-b)r，退回n－r份，赔(b-c)(n-r)；如果这天的 需求量r＞n, 则n 份将全部售出，赚(a-b)n

求解过程 将r视为连续变量,(r)→p(r)视为概率密 度,则:G(n) Ia-b)r-(b-c)(n-r)lp(r)dr+(a-b)np(r)dr dG (a-b)np(n)-[(6-op(r)dr (a-bnp(n)+(a-b)p(r)dr (6 (rdr+a-b)l p(r)dr

求解过程 将r视为连续变量，f(r) p(r)视为概率密 度，则：     − − − − + − n n a b r b c n r p r dr a b np r dr 0 [( ) ( )( )] ( ) ( ) ( ) G(n)＝ = dn dG    = − − + − n n b c p r dr a b p r dr 0 ( ) ( ) ( ) ( )   − − + − n (a b)np(n) (a b) p(r)dr  − − − n a b np n b c p r dr 0 ( ) ( ) ( ) ( )

dG 0,得 (b-c)|p(r)d-(a-b)p()h=0,即 P(r)dr a-b p(r) b

= 0 dn dG b c a b p r dr p r dr nn −− =  ( ) ( ) 0 令 ，得：  − − − n b c p r dr 0 ( ) ( )  − n ( a b ) p ( r )dr ＝ 0 ，即：

解的说明 由于概率密度函数p(r)满足: p(rdr=1 所以解又可以表示为:/(mh=a-b b 令P1=p(r)d,是需求量r不超过n的 概率,即卖不完的概率;

解的说明   = 0 p(r)dr 1  − − = n b c a b p r dr 0 ( ) 由于概率密度函数p(r)满足： 所以解又可以表示为： 令P1＝  n p r dr 0 ( ) ，是需求量r不超过n的 概率，即卖不完的概率；

P2= p(r)dr 是需求量r超过n的概率,即卖完的概率。 则购进的份数n应该使卖不完与卖完的概 率之比,恰好等于卖出一份赚的钱a-b与退 回一份赔的钱b-c之比。显然当报童与报社 签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大 时,报童购进的份数就应该越多

P2＝   n p(r)dr 是需求量r超过n的概率，即卖完的概率。 则购进的份数n应该使卖不完与卖完的概 率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a－b与退 回一份赔的钱b－c之比。显然当报童与报社 签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大 时，报童购进的份数就应该越多