西安建筑科技大学：《高等数学计算方法》课程电子教案（PPT教学课件）第5章 数值积分与数值微分

数值积分 近似计算=f(x) 插值型积分公式 81插值型求积公式 思利用插值多项式P(x)≈对积分易算 在b上取a≤xx1<,A≤b,做/的n次插值多 项式L(x)=∑f(xk即得到 =0 误差R门 mk4由节点决定,1/()-((x 与/(0无关,-(15mxx)

数值积分 近似计算  = b a I f (x)dx 8.1 插值型求积公式 思 路 利用插值多项式 Pn (x)  f (x) 则积分易算。  在[a, b]上取 a  x0 < x1 <…< xn  b，做 f 的 n 次插值多 项式  ，即得到 = = n k Ln x f xk l k x 0 ( ) ( ) ( )    =  b a b a k n k f (x)dx f (xk ) l (x)dx 0 Ak    − − = b a j k x x x x Ak dx k j j ( ) ( ) 由 决定， 与 无关。 节点 f (x) 插值型积分公式       = + = − + = = − = = − b a n k k x n b a n b a n b a n k k k x x dx n f f x L x dx R x dx f x dx A f x R f 0 ( 1) 0 ( ) ( 1)! ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) [ ]  误差

2复化求积公式 如果积分区间比较大,直接地使用上述求积公式 精度难以保证 高次插值有 Runge现象,故采用分段低次插值 →分段低次合成的 Newton- Cotes复合求积公式。 (1)等分求积区间,比如取步长h b-a 分|a,b为n等分 分点为x=x+Mk=0,1,2,,n (2)在区间[x,xk1上使用以上求积公式求得 (3)取和值Ⅰ=∑/作为整个区间上的积分近似值

8.2 复化求积公式 如果积分区间比较大，直接地使用上述求积公式， 精度难以保证。 高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值  分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式。 （1）等分求积区间，比如取步长 ，分[a, b]为n等分， n b a h − = 分点为 xk = x0 + kh k = 0, 1, 2,…, n （2）在区间 [xk , xk+1]上使用以上求积公式求得Ik （3）取和值  ，作为整个区间上的积分近似值。 − = = 1 0 n k k I I

b-a 复化梯形公式〃n’x=a+kh(k=0,…,n) 在每个xx上用梯形公式:。8888。 ∫ f(x)≈,=∫(xk1)+f(xk),k=1,…,n (xk∑,[(x-)+1(x)=a)+2x)+/(b)=7 k=1 ∑∫(5) R=∑ h h ∫"(5k) (b-a) k=1 积分中值定理* 12 12 h2 (b-a)f"(4),∈(a,b)

➢ 复化梯形公式： , x a k h (k 0, ... ,n) n b a h k = + = − = 在每个 [xk−1 , xk ] 上用梯形公式： f x f x k n x x f x dx k k x x k k k k [ ( ) ( )], 1, ... , 2 ( ) 1 1 1 + = −  − −  −       = +  + − = 1 1 ( ) 2 ( ) ( ) 2 n k k f a f x f b h  =  − + b a n k k k f x f x h f x dx 1 1 [ ( ) ( )] 2 ( ) = Tn ( ) ( ), ( , ) 12 ( ) ( ) 12 ( )] 12 [ ] [ 2 1 2 1 3 b a f a b h n f b a h f h R f n k n k k k = − −    = −  = − −   = =     /*积分中值定理*/

复化 Simpson公式:h=b-a n Mk=a+kh (k=0, ∫(x)b≈If(xk)+4f(xk+4)+∫(xk+1) k k k+1 ∫(x)t≈么a)+(xn)+2(x,)+r(=Sn k=0 =-b-a/h) fn(5) 180(2 主为方便编程,可采用另一记法:令n=2n为偶数 这时n=b=a=B,x1=a+kM,有 Sn=,Ufa)+4∑f(x)+2∑f(x)+∫(b) odd k even k

➢ 复化 Simpson 公式： , x a k h (k 0, ... ,n) n b a h k = + = − = [ ( ) 4 ( ) ( )] 6 ( ) 1 2 1 1   + + + + + k k k x x f x f x f x h f x dx k k xk 2 1 k+ x xk+1 4 4 4 4 4 [ ( ) 4 ( ) 2 ( ) ( )] 6 ( ) 1 0 1 0 1 2   1  − = − =  + + + + + n k n k k k b a f a f x f x f b h f x dx = Sn ( ) 180 2 [ ] (4) 4 f  b a h R f      −  = − 注：为方便编程，可采用另一记法：令 n’ = 2n 为偶数， 这时 h x a k h ，有 n b a h k = = +   −  = , 2 [ ( ) 4 ( ) 2 ( ) ( )] 3 +  +  +  = odd k even k n k k f a f x f x f b h S

例8.1:利用数据表 3/8 12 5/8 3/4 7/8 f( 3.938463.764703.506853.200002876402.460002.26549 计算积分 2 1+x 这个问题有明显的答案r=4arcx=x=31415926 取n=8用复化梯形公式 T=×f(0)+2+21|+2f|。+2 8 2 +2 8/12/3 4/+2/ 十 8 =3.13899

例 8．1：利用数据表 xk 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 f (xk ) 4 3.93846 3.76470 3.50685 3.20000 2.87640 2.46000 2.26549 2 计算积分 dx x I  + = 1 0 2 * 1 4 这个问题有明显的答案 I * = 4arctgx | 1 0 =  = 3.1415926 取n = 8用复化梯形公式 ( ) 3.13899 1 8 7 2 4 3 2 8 5 2 2 1 2 8 3 2 4 1 2 8 1 (0) 2 2 1 8 1 8 =     +       +       +      +           +       +       +      =  + f f f f T f f f f f

辛卜生公式 3 S4=xf(0)+4+2 +2 +4//5 4/+4/ 8 3.14159

取n=4,用辛卜生公式 ( ) 3.14159 1 8 7 4 4 3 2 8 5 4 2 1 2 8 3 4 4 1 2 8 1 (0) 4 6 1 4 1 4 =     +       +       +      +           +       +       +      =  + f f f f S f f f f f

83变步长梯形方法 求积公式的误差 当∫(x)=P(x)时,不考虑舍入误差,求积公式是精确成立的。 舍入误差: b b f(xxx=Pn(x)dx ∑ λkf(xk) k=0 取f(x)≡1,则 ∑ 几=b-a 若f(x)的舍入误差小于E,则

8.3 变步长梯形方法 8.4 求积公式的误差 f (x) P (x) 当  n 时，不考虑舍入误差，求积公式是精确成立的。 舍入误差： ( ) ( ) ( ) * 0 * k n k k b a n b a I f x dx P x dx  f x   = = = =  取f (x)  1，则 b a n k  k = − =0  若f (xk )的舍入误差小于 ，则

广(E(x减(x)-(ab=m 梯形公式的截断误差 r'-Tls(b-a)M,h2 12 2.辛卜生公式的截断误差 M, b-a b-a M 90(2 180

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 0 0 * 0 * I I f x f x f xk f xk b a n k k k n k k k n k − =  k −   −  − = = =     1．梯形公式的截断误差 2．辛卜生公式的截断误差 * 2 3 ( ) 12 b a M I −T  − 2 2 3 * 12 ( ) M h b a I Tn − −  5 * 4 90 2       − −  M b a I S 4 4 * 180 2      −  −  h M b a I Sn

85龙贝格求积公式 龙贝格积分法是在计算梯形和序列的基础上应用了 线性外推的加速方法,由此构成的一种具有超线性 收敛的自动积分法 方法思路: 1按照区间逐次分半的方法,计算梯形和序列 6-a 7=b|f(a)+f(b)

8.5 龙贝格求积公式 龙贝格积分法是在计算梯形和序列的基础上应用了 线性外推的加速方法，由此构成的一种具有超线性 收敛的自动积分法 方法思路 : 1.按照区间逐次分半的方法，计算梯形和序列 n = h = b − a 0 1,       = + ( ) 2 1 ( ) 2 1 0 0 T h f a f b

b 2 h ho b h, ∑

2 2 2, 0 1 h b a n h − = = =       = + + 2 2 1 2 1 0 1 0 0 h T T h f a 2 2 2 2 2 , b a n h − = =       − = +  + = 2 0 3 1 2 0 2 1 2 2 1 2 2 1 h i f a h T T i