西安建筑科技大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第7章 样本与抽样分布 7.2 基本分布

72基本分布 定义设X为随机变量则称满足 P{X≥va}=a 则称ν为X的上侧a分位数 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） 7.2 基本分布 定义 设X为随机变量,则称满足 P{X  v } = 则称 为 的上侧 分位数. v X

(1)标准正态分布 标准正态分布的密度:q(x) e 2π 上侧分位数az满足P{X≥Ln}=1-(n)=a 根据正态分布的对称性知 04 X-N(0,1) 查附表3可得un的值如 l.05=1645 X 0025=196 o ua 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） 上侧分位数 满足 (1) 标准正态分布 u P X u u { } 1 ( )  = − =     标准正态分布的密度： 2 2 1 ( ) e 2π x  x − = u0.05 u0.025 根据正态分布的对称性知 u1− = −u = 1.645 = 1.96 查附表3可得u 的值.如

(2)2分布 设X1,X2,…,X相互独立同服从N(0,1),则称 x2=∑X2 i=1 所服从的分布是自由度为m的x2分布,记作x2~x2(m) 可以证明,x(n)分布的概率密度为 x2e2,x>0 ,(x)=2I( x<0 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） (2)χ 2 分布 2 2 2 所服从的分布是自由度为n n 的   分布,记作 ~ ( ).          = − − 0 , 0 e , 0 ) 2 2 Γ( 1 ( ) 2 1 2 2 2 x x x n f x n x n  1 2 , , , (0,1), 设X X X N n 相互独立同服从 则称 2 2 1 n i i  X = =  2 可以证明, ( ) n 分布的概率密度为

其中I(p)=。 xP-ledx为伽玛函数该函数有性质 I(p+1)=pI(p,I(1)=1,r(1/42)=√z x2(m)分布的概率密度曲线姻: 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 n=4 0.15 0.1 0.05 2 8 10 12 14 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 其中 ( ) :  2 n 分布的概率密度曲线如图 Γ( ) e d 为伽玛函数,该函数有性质 0 1  + − − p = x x p x Γ( p + 1) = pΓ( p), Γ(1) = 1, Γ(1/ 2) = 

x2分布的上侧分位数x2()由下式定义 P{2≥xa(m)}=a 其值可通过査附表获得如 x2a3(8)=17535 x9(10)=3247 x2分布的性质 xo(n) 性质1(x2分布的可加性) 设x2~x2(1),x2~x2(l2),且x2,x2独立,则 x2+x2~x2(n1+n2)(由定义即知) 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） χ 2分布的上侧分位数 ( ) :   2 n 由下式定义 {    ( )} =  2 2 P n 其值可通过查附表5获得,如 (8) 2  0.025(10) 2  0.975 = 17.535 = 3.247 性质1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 ~ ( ), ~ ( ), , , ~ ( ) n n n n          + + 设 且 独立 则 ( )  2 分布的可加性 χ 2分布的性质 （由定义即知）

性质2若x2~x2(n,则E(x2)=n,D(x2)=2n 证因为X~N(0,1),所以E(X)=D(X1)=1, D(X2)=E(X)-E(X2)2=E(X1-EX)-E(X1-EX)21 =3!-1!!=2,i=1,2,…,n 故E(x2)=E∑X2=∑E(x)=m D(x)=D∑x=∑D(x)=2n 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） 性质2 ~ ( ), ( ) , ( ) 2 . 2 2 2 2 若   n 则 E  = n D  = n 证 X ~ N(0, 1), 因为 i ( ) ( ) 1, 2 所以 E Xi = D Xi = 2 4 2 2 ( ) ( ) [ ( )] D Xi = E Xi − E Xi = 3!!−1!!= 2, i = 1, 2,  , n       = = n i E E Xi 1 2 2 故 ( ) = = n i E Xi 1 2 ( ) = n       = = n i D D Xi 1 2 2 ( ) = = n i D Xi 1 2 ( ) = 2n 4 2 2 E(X EX) [E(X EX) ] = i − − i −

例1设X,X2,…,X为来自N(0,1)的样木求C1,C2使 Y=C1(X1+X2)2+C2x3+X4+X5+X6)2 服从x2分布 解X1+X2~N(0,2),则 X1+X2~N(0,1) 2 同理X2+X+X+6~N0)且两者相互独立 所以X1+x2)2+(x3+X4+x.+9)~x(2) 故C 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） 例1 设X1 , X2 ,  , X6为来自N(0,1)的样本,求C1 ,C2使 ~ (0,1) 2 ~ (0,2), 1 2 1 2 N X X X X N + + 则 ~ (0,1) 4 3 4 5 6 N X + X + X + X 同理 且两者相互独立 2 2 3 4 5 6 2 1 1 2 Y = C (X + X ) + C (X + X + X + X ) . 服从 2 分布1 2 2 2 ( ) X + X 所以 ( ) ~ (2) 4 3 4 5 6 2 2  X + X + X + X + 1 2 1 1 , 2 4 故C C = = 解

(3)t分布 设X~N(0,1),Y~x2(m),且X,Y独立则称 n 服从的分布是自由度为m的t分布,记作T~t(m) 可以证明,t(n)分布的概率密度为 n+1 m/如)/1x2)+1 2 f(x)= 0<x<+00 n 2 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） (3) t分布 服从的分布是自由度为n t T t n 的 分布,记作 ~ ( ) 可以证明，t(n)分布的概率密度为 设 X ~ N(0, 1), Y ~  2 (n), 且 X,Y 独立,则称 Y n X T / = 1 2 2 1 Γ 2 ( ) 1 , π Γ 2 n t n x f x x n n n + −   +       = + −    +          

t分布的密度曲线 如图.其概率密 n=25 度图形关于x=0对称 n=9 n 当n充分大时,其图 0.2 形类似于标准正态 分布密度的图形 0.1 lim f(x) e 4-3-2-1 2π 所以当n足够大时t分布近似于N(0,1)分布, 但对于较小的n,t布与N(0,1)分布相差很大 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） t分布的密度曲线 如图. 其概率密 度图形关于x=0对称. 当n充分大时, 其图 形类似于标准正态 分布密度的图形. 2 2 e 2π 1 lim ( ) x t n f x − → = 所以当n足够大时t分布近似于N(0,1)分布, 但对于较小的n, t分布与N(0,1)分布相差很大

t分布的上侧分位数 对于给定的a,0t, (n=a 的点t(m)为t(n)分布的上侧a分位数 由分布的对称性知 可以通过查附表4求 得上侧a分位数的值 to25(10)=2228 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） t分布的上侧分位数 ( ) ( ) . { ( )} , 0 1, 的 点 为 分布的上侧 分位数 对于给定的 称满足条件       t n t n P t  t n =   得上侧 分位数的值 可以通过查附表 求  4 由分布的对称性知 ( ) ( ) t 1− n = −t  n t 0.025(10) = 2.228