西安建筑科技大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第1章 随机事件及其概率 1.5 随机事件的独立性

1.5随机事件的独立性 般情况下,事件B的发生对事件A的发生是有 影响的.如果事件B发生与否并不影响A的发生,即 P(AB)=P(AB) 则称事件A相对B独立,此时A相对B也独立 如果事件A相对B独立,事件B相对A也独立,则 称它们是相互独立的 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） 1.5 随机事件的独立性 一般情况下, 事件B的发生对事件A的发生是有 影响的. 如果事件B发生与否并不影响A的发生, 即 P(A B) = P(A B) 如果事件A相对B独立,事件B相对A也独立, 则 称它们是相互独立的. 则称事件A相对B独立, 此时A 相对 B 也独立

性质设A与B是两随机事件,那么 1°如果A相对B独立,则事件A相对B也独立,并且 P(AIB)=P(A), P(AB)=P(A)P(B) 2°如果A相对B独立且0<P(4)<1,则A与B相互独立; 3°(相互独立事件的乘法定理)如果A与B相互独立, 则A与B,A与B,A与B也相互独立并且有乘法公式 P(AB)=P(A)P(B), P(AB)=P(A)P(B P(AB)=P(A)P(B), P(AB=P(A)P(B) 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） 性质 设A与B是两随机事件, 那么 1º 如果A相对B独立, 则事件 相对B也独立, 并且 P(A| B) = P(A), A P(AB) = P(A)P(B) 2º 如果A相对B独立且0<P(A)<1, 则A与B相互独立； 3º (相互独立事件的乘法定理) 如果A与B相互独立, 则A与B, A与B, A与B也相互独立,并且有乘法公式 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) P AB P A P B P A B P A P B P A B P A P B P AB P A P B = = = =

证1°如果A相对B独立,则 P(A|B)=1-P(|B)=1-P(A|B)=P(A|B) 即A相对B独立,再由全概率公式知 P(A=P(B)P(A B)+P(B)(A B) P(B)P(A B)+P(B)P(A B)=P(A B) P(AB)=P(BP(A B)=P(B)P(A=P(A)P(B) 2°由条件概率公式及1知 P(B A) P(BA) P(B)-P(AB) P(B)-P(A)P(B) P(A) P(A P(A)P(B) P()P(B)P(AB)2P(BIA) P(A) P(A P(A) 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） 证 1º 如果A相对B独立, 则 2º 由条件概率公式及1º知 P(A | B) = 1− P(A| B) = 1− P(A| B) = P(A | B) 即A相对B独立, 再由全概率公式, 知 P(A) = P(B)P(A| B)+ P(B)P(A| B) = P(B)P(A| B)+ P(B)P(A| B) = P(A| B) P(AB) = P(B)P(A| B) = P(B)P(A) = P(A)P(B) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) P A P B P A P B P A P B P AB P A P BA P B A − = − = = ( | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P B A P A P AB P A P A P B P A P A P B = = = =

即B相对A独立,从而A与B相互独立 3°如果A与B相互独立,则 由定义知B相对A独立 →A与B相互独立 而由1知A相对B独立 反复用上述结果可知4与B,A与B也相互独立 再由1的最后一个等式可知 P(AB)=P(AP(B), P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(AP(B), P(AB)=P(A)P(B) 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） 3º 如果A与B相互独立, 则    而 由 知 相 对 独 立 由定义知 相 对 独 立 A B B A 0 1 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) P AB P A P B P A B P A P B P A B P A P B P AB P A P B = = = = 反复用上述结果可知：A与B, A与B也相互独立 再由1º的最后一个等式可知 即B相对A独立, 从而A与B相互独立  A与B相互独立

性质2表明:在0<P(4)<1,0<P(B)<1的条件下 A相对B独立兮B相对A独立分A与B相互独立 性质1°与性质2的证明过程也已经证明了 定理1在0<P(4)<1,0<P(B)1的条件下 A与B相互独立台P(AB)=P(A)P(B) 正因为此定理的成立,为了 叙述简单,有些教科书也把 此公式作为相互独立的定义 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） 定理1 在0<P(A)<1, 0<P(B)<1的条件下 A相 对B独 立 B相 对A独 立 A与B相互独立 性质1º与性质2º的证明过程也已经证明了 性质2º表明： 在0<P(A)<1, 0<P(B)<1的条件下 A与B相互独立 P(AB) = P(A)P(B) 正因为此定理的成立，为了 叙述简单，有些教科书也把 此公式作为相互独立的定义

相对独立与相互独立的概念很容易推广到多个 随机事件的情形,如我们有 定理2在0<P(4<1(=1,2,…,n)的条件下事件 组41,42,…,A,相互独立的充要条件是 对于任意k(1≤k≤n)及 共C2+C3+…+Cn (1+1)-Cn-C si1<i2x…<in,有 =2n-1-n个式子 P(A1A2…A1)=P(A)P(A2)…P(A1) 事实上,在实际应用中,对于事件的独立性, 往往可由实际问题本身的意义判定 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） 定理2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 k 1 2 k P Ai Ai Ai = P Ai P Ai P Ai 相对独立与相互独立的概念很容易推广到多个 随机事件的情形，如我们有 在 0<P(Ai )<1(i=1,2, ···,n) 的条件下事件 组A1 , A2 ,  , An 相互独立的充要条件是 事实上，在实际应用中，对于事件的独立性， 往往可由实际问题本身的意义判定. 对于任意k (1≤k≤n) 及 2 1 . (1 1) 0 1 2 3 个式子 共 n C C C C C n n n n n n n n = − − = + − − + ++ 1≤i1< i2<···< ik≤n,有

例1(伯恩斯坦反例)一个均匀的正四面体 其第一面染成红色,第二面染成白色,第三面染成 黑色,而第四面同时染上红、白、黑三种颜色.现 以A,B,C分别记投一次四面体出现红,白,黑颜色 朝下的事件,问事件A,B,C是否相互独立? 解由于在四面体中红,白,黑各出现两面,故 P(4)=P(B)=P(C)= 又由于同时出现2~3种颜色的只有一面,故 P(AB)=P(BC)=P(AC=P(ABC) 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） 一个均匀的正四面体, 其第一面染成红色, 第二面染成白色 , 第三面染成 黑色, 而第四面同时染上红、白、黑三种颜色. 现 以 A, B, C 分别记投一次四面体出现红, 白, 黑颜色 朝下的事件, 问事件 A, B, C是否相互独立? 例1（伯恩斯坦反例） 解 由于在四面体中红, 白, 黑各出现两面, 故 2 1 P(A) = P(B) = P(C) = 又由于同时出现 2~3种颜色的只有一面，故 4 1 P(AB) = P(BC) = P(AC) = P(ABC) =

P(A=P(B)=P(C) P(AB)=P(BC)=P(AC)=P(ABC)A P(AB)=P(A)P(B) 从而有 P(BC)=P(B)P(C P(AC=P(AP(C) 所以三事件A,B,C两两相互独立 但P(ABC)=≠=PA)P(B)P(C 因此作为事件组,A,B,C不是相互独立的 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 从而有 因此作为事件组, A, B, C 不是相互独立的.      = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P AC P A P C P BC P B P C P AB P A P B 所以三事件 A, B, C 两两相互独立. 但 4 1 P(ABC) = ( ) ( ) ( ) 8 1  = P A P B P C 2 1 P(A) = P(B) = P(C) = 4 1 P(AB) = P(BC) = P(AC) = P(ABC) =

例2甲,乙两人同时向敌机炮击,已知甲击中敌 机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为05,求敌机被 击中的概率 解设A=(甲击中敌机 B={乙击中敌机},C={敌机被击中} 则C=A∪B(A与B不互斥),但A与B独立,进而 A与B独立又:P(4)=0.6,P(B)=0.5 P(C)=1-P(C)=1-P(AB)=1-P(A)P(B)=08 两事件相互独立两事件互斥 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 甲, 乙两人同时向敌机炮击, 已知甲击中敌 机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被 击中的概率. 解 设 A={ 甲击中敌机 } B={ 乙击中敌机 }，C={ 敌机被击中 } 则C = A B 又 P(A) = 0.6, P(B) = 0.5 （ A与B不互斥） 例2 ，但 A与B独立, 进而 A 与 B独 立.  P(C) = 1− P(C ) = 1− P(A B) = 1− P(A)P(B) = 0.8 两事件相互独立 两事件互斥

例3设一个系统由2n个元件组成,每个元件的 可靠性均为r,且各元件能否正常工作是相互独立 的,求下列系统Ⅰ和Ⅱ的可靠性,并比较其大小 n 系统I n+1 n+2 2n 2 系统Ⅱ n+1 注ε串联通路正常工作分→通路上各部分都正常工作 并联通路正常工作台至少有一条通路正常工作 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 设一个系统由2n个元件组成, 每个元件的 可靠性均为r, 且各元件能否正常工作是相互独立 的, 求下列系统Ⅰ和Ⅱ的可靠性, 并比较其大小. 例3 系统Ⅰ 系统Ⅱ n+1 n+2 … 2n 1 2 … n 注：串联通路正常工作  通路上各部分都正常工作 并联通路正常工作  至少有一条通路正常工作 … n+1 n+2 2n 1 2 n