西安建筑科技大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第2章 随机变量及其分布 2.3 连续型随机变量的概率分布

23连续型随机变量的概率分布 如果随机变量X的分布函数F(x)能表示成某个 非负函数fx)在(-∞,x)上的积分,即 F(x)=f(x)cc 连续函数 称这类随机变量X为连续型随机变量 称其中的(x)为该X的分布密度,简称密度 称相应的分布为连续型分布 x为连续型随机变量之F(为连续函数 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） 如果随机变量X的分布函数F(x)能表示成某个 非负函数f(x)在(-∞, x)上的积分，即 2.3 连续型随机变量的概率分布 称这类随机变量X为连续型随机变量 − = x F(x) f (x)dx 连续函数 称其中的f(x)为该X的分布密度, 简称密度 称相应的分布为连续型分布 X为连续型随机变量 F(x)为连续函数

对连续型随机变量,有 PX=a}=F(a)-F(-0)=0,P{X≠a}=1 不可能事件的概率为0,概率为0的事件未必是不可能事件 必然事件的概率为1,概率为1的事件未必是必然事件 P{≤X≤b}=P{<X≤b=P{a≤X<b Pass<bj. 连续型随机变量的概率与区间的开闭无关 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 对连续型随机变量, 有 不可能事件的概率为0，概率为0的事件未必是不可能事件 必然事件的概率为1，概率为1的事件未必是必然事件 P{X = a} = F(a) − F(a − 0) = 0, P{X  a} = 1 连续型随机变量的概率与区间的开闭无关 P{a  X  b} = P{a  X  b} = P{a  X  b} = P{a  X  b}

定理1连续型随机变量的分布密度fx)和分布 函数F(x)具有下列性质: 1°密度函数f(x)在(-0,+∞)上满足 + f(x)≥0,f(x)=1(归一性) oo 2°在∫(x)的连续点处F(x)可导,且 F'(x)=∫(x) 3对任意的实数a,b(a<b)都有 P{a≤X≤b}=P{<X<b=P{≤X<砂 =Pa<X≤b}=Jx 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 连续型随机变量的分布密度f(x)和分布 函数F(x)具有下列性质： 定理1 1 密度函数 f (x) 在(-∞, +∞) 上满足 ( )  0, ( ) = 1  +  − f x f x dx 2 在 f (x) 的连续点处Ｆ(x)可导, 且 3 对任意的实数a, b (a＜b)都有 F(x) = f (x)  = b a f (x)dx P{a  X  b} = P{a  X  b} = P{a  X  b} = P{a  X  b} （归一性）

证1°由连续型分布的定义即知 +OO f(x)≥0,f(x)dx=F(+∞)=1 2°在八(x)的连续点处利用积分中值定理,即得 x+Al F'(r)=lim F(x+4x)-F(x)=lim Mx f(xdx Ax→0 ∠v lim f(r+04x)4x f(x)(0<6<1 Av→0 L 3°由连续型变量的概率与区间开闭无关,知 P{a≤X≤b}=P{<X<b=P{≤X<b =Pa<Xsb)=F(b)-F(a)=f(xddx 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 证 1 由连续型分布的定义即知 ( )  0, ( ) = (+ ) = 1  +  − f x f x dx F 2 在f(x)的连续点处利用积分中值定理，即得 3 由连续型变量的概率与区间开闭无关, 知  = b a f (x)dx P{a  X  b} = P{a  X  b} = P{a  X  b} = P{a  X  b} x F x x F x F x x    ( ) ( ) ( ) lim 0 + −  = → x f x dx x x x x     + → = ( ) lim 0 ( ) (0 1) ( ) lim 0 =   + = →      f x x f x x x x = F(b) − F(a)

性质1°表明 ∫(x)≥0 函数y=fx)是某 (x)dx=l 连续型随机变 面积=1 量X的分布密度 性质2表明 ↑F(x) 与分布密度fx) 相应的分布函数F(x) 的图形是一条单调不 减的连续曲线 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计 （ZYH ） 面积=1 O x 函数 y =f(x )是某 连续型随机 变 量X的分布密度 性质 1 表明 性质 2 表明 与分布密度 f(x ) 相应的分布函数 F(x ) 的图形是一条单调不 减的连续曲线 . F(x ) 1O x ( ) d = 1  + − f x x f ( x )  0

性质3°表明:只要知道了连续型随机变量X的 分布密度∫(x),就能算出X落在任一区间上的概率 因此,对连续型随机变量,通常用分布密度几x)刻划 它的概率分布 Tf() S=f(r)dx b 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） 只要知道了连续型随机变量X的 分布密度 f (x) , 就能算出 X 落在任一区间上的概率. 因此, 对连续型随机变量, 通常用分布密度 f(x) 刻划 它的概率分布. S f x x b a ( )d  = S a b x f (x) O • • 性质3表明：

例如设随机变量X具有分布密度 la, 0≤x<3 f(x)={2-x/2,3≤x≤4 其它 1)确定常数k;(2求P{1<X≤} 解(0令1=厂(x)x1kdx+(2-2x k+ 得k= 24 3 7/2 (2)P1<Xs}=xdx+,(2-3)dx 48 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH）      −     = 0, 其 它 2 / 2, 3 4 , 0 3 ( ) x x kx x f x 解   − (1) 令1 = f (x)d x 设随机变量X具有分布密度 } 2 7 (1) 确定常数k; (2)求 P{1  X  例如 x x kx x )d 2 d (2 3 0 4  3 = + − 6 1 得 k = 4 1 2 9 = k + } 2 7 (2) P{1  X  48 41 =   = + − 7/ 2 3 3 1 )d 2 d (2 6 1 x x x x

例1向半径为R的圆盘形靶射击,设弹着点落 在以靶心O为圆心,以r(r<R)为半径的圆盘内的 概率与圆盘的面积成正比,并设每枪都能中靶.现 以X表示弹着点与圆心O的距离,求随机变量X的 分布密度 解在21节例2中,已求得几乎唯一 0,x<0 0,x≤0 F(x)= 0<x<R 故 f(x)=F(x)= 2x 0<x<R R R x≥R 0,x≥R 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 向半径为R的圆盘形靶射击，设弹着点落 在以靶心 O 为圆心, 以 r (r≤R) 为半径的圆盘内的 概率与圆盘的面积成正比，并设每枪都能中靶．现 以 X 表示弹着点与圆心O的距离，求随机变量 X 的 分布密度. 例1 解 在2.1节例2中,已求得            = x R x R R x x F x 1, , 0 0, 0 ( ) 2 2 故            =  = x R x R R x x f x F x 0, , 0 2 0, 0 ( ) ( ) 2 几乎唯一

种常用连续型随机变量的分布 1)均匀分布 端点可闭 设随机变量X具有概率密度 ∫(x) (b-a) a<x<b ∫(x)=1b-a 其它 b 则称X服从区间(an,b)上的均匀分布,记作X~U(a,b) < F(x) F(x)=b-a a≤x<b x≥b 应用与背景:舍入误差、候车时间均服从均匀分布 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 1) 均匀分布 设随机变量X 具有概率密度 三种常用连续型随机变量的分布        = − 0, 其 它 , 1 ( ) a x b f x b a X ~ U(a,b)           − −  = x b a x b b a x a x a F x 1, , 0, ( ) O x F(x) • a • b 1• 则称X服从区间(a,b)上的均匀分布, 记作 端点可闭 应用与背景：舍入误差、候车时间均服从均匀分布 O x f ( x) • a • b 1 ( ) − b − a

例2设X服从[2,5上的均匀分布,现对X进行 次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率. 解X的分布密度函数为f(x)=13 ,2≤x≤5 0,其它 设A表示事件“对X的观测值大于3”,则 P(A)=PX>3}= 3 3 设Y表示“三次观测中A发生的次数”,则B(3,2/3) 故所求概率为P{Y≥2}=C 2)(2)20 27 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） 设X服从[2, 5]上的均匀分布, 现对X 进行三 次独立观测, 试求至少有两次观测值大于3 的概率. X 的分布密度函数为        = 0, 其 它 , 2 5 3 1 ( ) x f x 设 A 表示事件“对 X 的观测值大于 3 ”, 则 解 例2 P(A) = P{X  3} 3 2 d 3 5 1 3 = =  x 设Y 表示“三次观测中A发生的次数”, 则 故所求概率为 P{Y  2} 27 20  =       −      = 3 2 1 3 2 C 2 2 3 3 3 2       + Y ~ B(3, 2/ 3)