西安建筑科技大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第6章 大数定律与中心极限定理 6.2 中心极限定理

62中心极限定理 人们发现:大量的随机变量都服从正态分布,例如:测 量误差、身高、体重、产品的直径、长度、重量、高度 等都近似服从正态分布 因此,人们自然要问:为什么正态分布如此广泛地存 在,从而在概率论中占有如此重要的地位? 中心极限定理将对此作出理论上的回答. 在概率论中,我们把有关论证随机变量之和的极限分 布的一系列定理叫做中心极限定理 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） 人们发现：大量的随机变量都服从正态分布, 例如：测 量误差、 身高、体重 、 产品的直径、长度、重量、高度 等都近似服从正态分布. 6.2 中心极限定理 在概率论中，我们把有关论证随机变量之和的极限分 布的一系列定理叫做中心极限定理. 因此, 人们自然要问：为什么正态分布如此广泛地存 在, 从而在概率论中占有如此重要的地位？ 中心极限定理将对此作出理论上的回答

定理1(林德伯格-列维中心极限定理) 设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,服从同一分布, 且具有数学期望和方差 E(XA)=,D(XA)=a2>0(k=1,2,…) 则随机变量和,=∑X的标准化和 X Y-EY k n 0 的分布函数F(x)的极限是标准正态分布函数Φ(x).即对 任意的x有 lim F(r=lim PiZ sx=g(x e 2 dt n→ 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 定理1 ( ) ( ). 的分布函数 F x x n 的极限是标准正态分布函数 即对 （林德伯格-列维中心极限定理） 1 2 , , , , , , 设随机变量 X X X n 相互独立 服从同一分布 且具有数学期望和方差 n n n n Y EY Z DY − =   n X n n k k − = =1 则随机变量和( ) , ( ) 0 ( 1,2, ) E Xk =  D Xk =  2  k =   的标准化和 = = n k Yn Xk 1 任意的 x 有 lim F (x) lim P{Z x} (x) n n n n =  = → → 2 2 1 e d 2π t x t − − = 

定理1表明:无论各个随机变量X1,X2,…,服从什么分 布,只要它们服从同一分布且相互独立,那么它们的和,当n 很大时,就近似地服从正态分布.即有 ∑Xk-n 近似 近似 k=1 N(0,1),Y=∑X6~N(m,n2 如果把定理1中的X看成n重伯努利试验中第i次试验 时4发生的次数(即X服从0-1分布)并记P(A)=,则 >X-B(n,p),EY,=np, DY,=np(1-p) 于是定理1可表现为如下的定理2的形式 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） 定理1表明: 无论各个随机变量 X1 , X2 , … 服从什么分 布, 只要它们服从同一分布且相互独立, 那么它们的和, 当n 很大时,就近似地服从正态分布．即有 1 2 1 ~ (0 ,1), ~ ( , ) n k n k n n k k X n Z N Y X N n n n     = = − = =   近似 近似 如果把定理1中的Xi 看成 n重伯努利试验中第 i 次试验 时A发生的次数（即Xi 服从0-1分布）并记 P(A)=p, 则 于是定理1可表现为如下的定理 2的形式 1 ~ ( , ), n n k k Y X B n p = =  EY np, n = DY np(1 p) n = −

定理2(棣莫弗一拉普拉斯定理)设随机变量yn~B(n,p) 则对于任意x,恒有 in Yn-PP=≤x e z dt=gp(x) np(1-p) T 定理2表明:二项分布的极限分布是正态分布,当n充分 大时,可以利用该定理来计算二项分布的概率. 亦即,若X~B(n,p),则当n充分大时 X p近似 近似 ~N(0,1)或X~N(mp,(1-p) √mp(1-p) X-np Pa< ≤b}≈φ(b)-(a) √叩(1-p) 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） 定理2（棣莫弗－拉普拉斯定理） 则对于任意x, 恒有 2 2 1 lim d ( ) (1 ) 2π t x n n Y np P x e t x np p  − →  −     −    = =   −    ~ ( , ), 设随机变量Y B n p n 亦即,若X B n p n ~ ( , ), 则当 充分大时 定理2表明: 二项分布的极限分布是正态分布, 当n充分 大时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率. X N np np p ~ ( , (1 )) − 近似 ~ (0 ,1) 或 (1 ) X np N np p − − 近似 ( ) ( ) (1 ) X np P a b b a np p       −      −   −  

定理2的几何意义:二项分布与正态分布的图像关系 0.2 n=500,p=0.01 0.14 n=1000,p=0.01 0.175 0.12 0.15 0.125 v npg npq Npg v npg 0.08 0.1 0.06 0.075 0.05 0.04 0.025 0.02 810121416 10 15 0.14}n=5000,p=0.005 0.06 n=10000,p=0.005 0.12 0.05 npg npg 0.04 0.08 0.06 p 0.02 0.04 0.02 0.01 E.t..EssE 10 2 3540455055606570 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 定理2 的几何意义：二项分布与正态分布的图像关系