西安建筑科技大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第5章 随机变量的数字特征 5.4 原点矩与中心矩

54原点矩与中心矩 定义1设X和Y是随机变量,k为正整数,那么 若EX存在,则称其为X的阶(原点)矩; 若E(XY)存在,则称其为X和Y的k+l阶混合原点矩; 若E(X-EX)存在,则称其为X的阶中心矩; 若EX-EX(Y-EY)存在,则称其为X与Y的 k+l阶混合中心矩 显然EX=EX1(1阶原点矩) DX=E(X-EX)2(2阶中心矩) CoV(X,Y=EI(X-EX)(r-ey) (1+1阶混合中心矩) 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 5.4 原点矩与中心矩 定义1 设X Y k 和 是随机变量, , 为正整数 那么 , ; k 若EX X 存在 则称其为 的k阶(原点)矩 ( ) , ; k l 若E X Y X Y 存在 则称其为 和 的k l + 阶混合原点矩 ( ) , ; k 若E X X X − E 存在 则称其为 的k阶中心矩 [( ) ( ) ] , . k l E X EX Y EY X Y k l − − + 若 存 阶混 在 则称其为 与 的 合中心矩 1 显然 EX EX = (1阶原点矩) 2 DX E X EX = − ( ) ( 2阶中心矩) 1 1 Cov( , ) [( ) ( ) ] X Y E X EX Y EY = − − (1 1 + 阶混合中心矩)

性质设X,Y是两个相互独立的随机变量,且其 数学期望都存在,则有 E(XY)=EXk·EY EI(X-EXOY-EY=E(X-EX). ECr-Er 例1设X~N(pa2,求它的各阶中心矩 解由X~N(a2)知Y=x~N(0,1) 所以E(X-EX)=E(X-1)=E(aY)=aEy k=1,3,5 e /2兀 (k-1)!,k=2,4,6, 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） [( ) ( ) ] ( ) ( ) k l k l E X EX Y EY E X EX E Y EY − − = −  − 性质 , , , 设X Y是两个相互独立的随机变量 且其 数学期望都存在 则有 ( ) k l k l E X Y EX EY =  2 设X N ~ ( , ), .   求它的各阶中心矩 ( ) ( ) ( ) k k k k k k E X EX E X E Y EY − = − = =    例1 ~ (0,1) x Y N   − 解 = 2 由X N ~ ( , )   知 所以 2 2 0, 1,3,5, e d 2 ( 1)!!, 2,4,6, k y k k k y y k k    +  − −   = = =   − = 