西安建筑科技大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第5章 随机变量的数字特征 5.2 方差

52方差 如果从一批灯泡抽得10个灯泡的寿命分别为 700,750,750,800,800,800,850,850,900,900 而从另一批灯泡抽得的10个灯泡的寿命分别为 0,300,300,350,350,400,700,1900,1900,1900 则不难求得这两批灯泡的平均寿命均为EX=810, 但第一批灯泡寿命明显稳定,因此质量好. 容易看到,E(X-EⅪ)或E(XEX〕2就能度量随机 变量X的稳定程度故引入下面的定义。 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 如果从一批灯泡抽得10个灯泡的寿命分别为 700, 750, 750, 800, 800, 800, 850, 850, 900, 900 5.2 方差 而从另一批灯泡抽得的10个灯泡的寿命分别为 0, 300, 300, 350, 350, 400, 700, 1900, 1900, 1900 则不难求得这两批灯泡的平均寿命均为EX=810, 但第一批灯泡寿命明显稳定，因此质量好. 容易看到, E(|X-EX|)或E(X-EX) 2就能度量随机 变量X的稳定程度. 故引入下面的定义

定义1设X是一个随机变量,则称E(X-EX) (当其存在时)为X的方差,记为D(X)或DX,即 DX= E(X-EX) 显然则DX0 而称√DX为X的标准差或均方差 不难知道对分布律为{}的离散型随机变量,有 DX=E(X-EX)=2(xk-EX) PK 而对密度为(x)的连续型随机变量X有 DX=E(X-EX)=(x-EX)'/()dx 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 定义1 (当其存在时)为X D X DX 的方差, ( ) , 记为 或 即 不难知道,对分布律为{pk }的离散型随机变量, 有 2 2 DX E X EX x EX f x x ( ) ( ) ( )d + − = − = −  2 设X E X EX 是一个随机变量,则称 ( ) − 2 DX E X EX = − ( ) 而称 DX X 为 的标准差或均方差. 而对密度为f (x)的连续型随机变量X, 有 2 2 1 ( ) ( ) k k k DX E X EX x EX p + = = − = −  显然则DX≥0

方差的性质设下面所遇随机变量的数学期望和 方差均存在,那么下面结论成立: (1)设C是常数,则有D(C)=0 (2)设X是随机变量,则有DX=EX2-(EY)2 (3)设X是随机变量,C是常数,则有D(CX)=C2DX (4)设X,Y是两个随机变量,则有 D(X±Y)=DX+DY±2E[(X-EX-E 若X与Y相互独立,则有D(X±Y)=DX+DY (5)设X是随机变量,则DX=0的充要条件是X以概率1 取常数C,即P{X=C}=1显然,这里C=EX 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） , : 设下面所遇随机变量的数学期望和 方差均存在 那么下面结论成立 (1) , ( ) 0 设C D C 是常数 则有 = 方差的性质 2 2 (2) , 设X DX EX 是随机变量 则有 = − ( ) EX ( )( ) (4) , , ( ) 2 , ( ) X EX Y EY X Y D X Y DX DY E X Y D X Y DX DY  = +  − −  = + 设 是两个随机变量 则有 若 与 相互独立 则有 2 (3) , , ( ) 设X C D CX 是随机变量 是常数 则有 = C DX (5) , 0 1 , { } 1 X DX X C P X C = = = 设 是随机变量 则 的充要条件是 以概率 取常数 即 显然, 这里C=EX

性质的证明1°的结论显然;5°的证明从略;3°的证 明由读者完成下面只证2°和4°这时,由方差的定义及期 望的性质即可推得 2 DX=E(X-EX)=EIX2-2XEX+(EX) EX -2EXEX +(EX= EX(EX) 4°D(X土Y)=EX士Y-E(X±Y)2 EI(X-EX)2+(Y-EY)+(X-EXY-EYI DX+DY+2EI(X-EXO-EY DX+DY(当X与Y独立时 (当X与Y独立时E(X-EX(Y-EY)=0) 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 性质的证明 1°的结论显然; 5°的证明从略; 3°的证 明由读者完成.下面只证2°和4°.这时,由方差的定义及期 望的性质即可推得 2 DX = E(X − EX) [ 2 ( ) ] 2 2 = E X − XEX + EX 2 2 = EX − 2EXEX + (EX) 2 2 = EX − (EX) 2° 2 4° D(X Y) = E[X Y − E(X Y)] [( ) ( ) 2( )( )] 2 2 = E X − EX + Y − EY  X − EX Y − EY = DX + DY  2E[(X − EX)(Y − EY)] = DX + DY (当X与Y独立时) (当X与Y独立时E[(X − EX)(Y − EY)] = 0)

例1求泊松分布X~P()的方差DX 解泊松分布的分布律为 P{X=k}=.e,k=0,1,2, ! 所以EX2=yk2.e=he(k飞 k=0 (k-1) 九e元 九k-2+ (k-2) ∑ k(k-1) 元e-e2+el=2+ 故DX=EX2-(EX)2=22+2-x2=元 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 例1 e , 0,1,2, ! { = } = = − k k P X k k   所以   = − =  0 2 2 e ! k k k EX k     = − − − − + = 1 1 ( 1)! ( 1) 1 e k k k k    =  +  2 求泊松分布X～P(λ)的方差DX. 解 泊松分布的分布律为       − + − =    = −  = − − 1 1 2 2 ( 1)! 1 ( 2)! 1 e k k k k k k           =  e  e + e − = − =  +  −  =  2 2 2 2 故 DX EX (EX)

例2求正态分布X~N(,G2)的方差DX 解正态分布m,o2)的期望为X=p,密度为 (x-) f(r) e202 <X<+0 √2o (x-) +0o 故DX=(x-1)2-me2dx 2元0 2 +0 r2e2dt(令x- 2丌 + 2 te 十 2兀 e 2丌 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） 正态分布N(μ,σ 2 )的期望为EX = ,密度为 故 x σ DX x σ x μ e d 2 1 ( ) 2 2 2 ( ) 2 − + − − = −          = − t σ x μ 令 = −    +  − − x σ f x σ x μ e , 2 1 ( ) 2 2 2 ( )  例2 求正态分布 ~ ( , ) 的方差DX. 2 X N μ σ 解 2 t =  σ t t t e d 2 e 2 2 2 2 2 2 2  + − − +  − − = − +    t t t e d 2 2 2 2 2 + − − =  

上两例表明: 泊松分布P()的数学期望或方差完全决定了泊 松分布; 正态分布N,a2)的数学期望和方差完全决定 了正态分布 利用同样的方法亦可求得其他几种重要分布 的数学期望与方差,其结果见附表1.附表1列出了 概率论与数理统计中几种常用的概率分布的数学 期望与方差。 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） 上两例表明： 泊松分布P(λ)的数学期望或方差完全决定了泊 松分布; 正态分布N(μ,σ 2 )的数学期望和方差完全决定 了正态分布. 利用同样的方法亦可求得其他几种重要分布 的数学期望与方差, 其结果见附表1. 附表1列出了 概率论与数理统计中几种常用的概率分布的数学 期望与方差

几种常用分布的数学期望与方差 匚分布记号数学期望方差 0-1分布B(1,pP) P(1-p) 二项分布B(n,pD) np(1-p) 泊松分布P(4) 几何分布G(p) (1-p)/p 均匀分布U(a,6b)(a+b)/2(b-a)2/12 指数分布e() 1/ 1/a 正态分布N(2) 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 分 布 记号 数学期望 方差 0-1分布 二项分布 泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布 几何分布 B(1, p) p p(1− p) B(n, p) np np(1 − p) P( )   U(a,b) (a + b)/ 2 ( ) /12 2 b − a e() 1/  2 1 /  ( , ) 2 N μ σ μ 2 σ G( p) 1/ p 2 (1− p)/ p 几种常用分布的数学期望与方差