西安建筑科技大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第1章 随机事件及其概率 1.4 条件概率

14条件概率 、条件概率与乘法定理 二、全概率公式与贝叶斯公式 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） 一、条件概率与乘法定理 二、全概率公式与贝叶斯公式 1.4 条件概率

、条件概率与乘法定理 例1设两台车床加工同一种零件共100个如下 项目 合格品数次品数合计 第一台车床加工的零件数 35 40 第二台车床加工的零件数51 50 60 合计 86 14 100 从这100个零件中任取一个 (1)求取出的零件是合格品的概率; (2)若已知取出的零件是由第一台车床加工的, 求它是合格品的概率 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） 一、条件概率与乘法定理 项 目 合格品数 次品数 合计 第一台车床加工的零件数 35 5 40 第二台车床加工的零件数 51 9 60 合 计 86 14 100 例1 从这100个零件中任取一个 (1) 求取出的零件是合格品的概率； (2) 若已知取出的零件是由第一台车床加工的， 求它是合格品的概率. 设两台车床加工同一种零件共100个如下

86 解()取出的零件是合格品的概率为p=0 =0.86 00 (2)若已知取出的零件是由第一台车床加工的, 则它是合格品的概率为p 35 =0.875 40 实际问题中常需考虑事件A发生的条件下事件 B发生的概率,这种概率叫做条件概率,记作P(B/4) 如在例1(2)中,若用A表示取出的零件是由第 台车床加工的,用B表示取出的零件是合格品,则(2) 中所求的概率便是条件概率P(B|A),这时 P(B A) 35 P(AB) (这正是条件概率的一般结论) 40P(A) 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 实际问题中常需考虑事件A发生的条件下事件 B发生的概率, 这种概率叫做条件概率, 记作P(B|A) 解 (1) 取出的零件是合格品的概率为 (2) 若已知取出的零件是由第一台车床加工的， 0.86 100 86 p = = 0.875 40 35 p = = 如在例1(2)中, 若用A表示取出的零件是由第一 台车床加工的, 用B表示取出的零件是合格品, 则(2) 中所求的概率便是条件概率P(B|A), 这时 则它是合格品的概率为 ( ) ( ) P A P AB = （这正是条件概率的一般结论） 40 35 P(B | A) =

定理1设在试验E中,事件 A的概率P(4)>0,则事件4发生的AOBB 条件下事件B发生的条件概率为 2 P(B A P(AB) P(4)(条件概率计算公式) 定理2(乘法定理)二事件积的概率等于其中 事件的概率与该事件发生的条件下另一事件发 生的条件概率的乘积,即 P(AB)=P(A)P(B4)=P(B)P(AB)(乘法公式) 推广:P(A142…A)=P(41)P(A2|A4)…P(An|A142…A1) 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 定理1 设在试验E中, 事件 A的概率P(A)>0, 则事件A发生的 条件下事件B发生的条件概率为 （条件概率计算公式） ( ) ( ) ( | ) P A P AB P B A = 定理2 (乘法定理) 二事件积的概率等于其中 一事件的概率与该事件发生的条件下另一事件发 生的条件概率的乘积, 即 P(AB) = P(A)P(B | A) = P(B)P(A| B) （乘法公式） ( ) ( ) ( | ) ( | ) 推广： P A1 A2 An = P A1 P A2 A1 P An A1 A2 An−1  A AB B

条件概率的性质: 条件概率也是 概率,它具有概 (1)有界性:0≤P(BA)≤1率的一切性质 (2)规范性:P(24)=1,P(4)=0 (3)可加性:设B1,B2,…是两两不相容的事件则 ∑B4=2P(BA (4)P(B4)=1-P(B|A) 65P(B1UB,)4)=P(B4)+PB4)-P(BB24) 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） (5) P((B B ) A) P(B A) P(B A) P((B B ) A) 1  2 = 1 + 2 − 1 2 (4) P(B A) = 1− P(B| A) (3)可加性:设 B1 , B2 , 是两两不相容的事件,则    =  = =         1 1 ( ) i i i P Bi A P B A 条件概率也是 概率，它具有概 (1)有界性: 0  P(B A)  1 率的一切性质 (2) 规范性: P(Ω A) = 1, P(|A) = 0 条件概率的性质：

例2一盒子装有10张彩票,其中有2张一等奖, 每次从中任取一张,作不放回抽样求:(1)第3次能 抽到一等奖的概率;(2)若已知前2次均未抽到一等 奖,求第3次能抽到一等奖的概率;(3)第3次才抽到 等奖的概率 解设A;表示事件“第次抽到一等奖”,则有 (1)由抽签原理知所求概率是P(43)=2/10=02 (2)这是一条件概率P(431|A142)=2/8=025 (3)p=P(A1A243)=P(A1)P(42A4)P(A3|A4423) 87.2=0.156 1098 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 一盒子装有10张彩票,其中有2张一等奖, 每次从中任取一张, 作不放回抽样. 求：(1)第3次能 抽到一等奖的概率；(2)若已知前2次均未抽到一等 奖, 求第3次能抽到一等奖的概率；(3)第3次才抽到 一等奖的概率. 例2 解 设Ai表示事件“第i次抽到一等奖” ，则有 (1) 由抽签原理知所求概率是 P(A3 ) = 2/10 = 0.2 (2) 这是一条件概率 P(A3 | A1 A2 ) = 2/ 8 = 0.25 (3) p = P( A1 A2 A3 ) = ( ) ( | ) ( | ) P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2 8 2 9 7 10 8 =   = 0.156

例3某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8,活到25岁以上的概率为0.4,如果现在有一个20 无法显示该图片 岁的这种动物间它能活到25岁以上的概率是多少? 解设A表示“能活20岁以上”的事件;B 表 示“能活25岁以上”的事胜侧所求概率为 BA P(A) 因为P(A)=0.8,P(AB)=P(B)=0.4(:BcA 所以P(BA)= P(AB)_0.4_1 ===0.5 P(A)0.82 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个20 岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是多少? 设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件; B 表 示 “ 能活 25 岁以上”的事件, 则所求概率为 因为 P(A) = 0.8, ( ) ( ) ( ) P A P AB P B A = P(AB) = P(B) = 0.4 0.5 2 1 0.8 0.4 = = = ( ) ( ) ( ) P A P AB 所以 P B A = 解 例3 ( B  A)

二、全概率公式与贝叶斯公式 定义1设为试验E的样本空间B1,B2,…为试 验E的一组两两互不相容的件且2=B1+B2+…, 则称B1,B2,…为样本空间的一个划分 全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂 事件的概率计算问题, 分解为若干个简单事 B B 件的概率计算问题,最 后应用概率的可加性B3 B 求出最终结果 02 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） , , . , , , , 1 2 1 2 1 2 则 称 为样本空间 的一个划分 验 的一组两两互不相容的事件且 设 为试验 的样本空间 为 试       B B E B B E B B = + + 定义1 二、全概率公式与贝叶斯公式 事件的概率计算问题, 分解为若干个简单事 件的概率计算问题,最 后应用概率的可加性 求出最终结果. A B1 B2 B3  Bn  全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂 

定理3设为试验E的样本空间B1,B2 25 为 2的一个划分,A是E的任一事件则 P4)=∑P(B)PA|B)(全概率公式) 证由=B1+B2+…知 (4)=P(A92) ∑(4B) B 2 i=1 ∑P(AB1) B ∑P(B)P(A|B1) n 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 的一个划分 是 的任一事件则 设 为试验 的样本空间 为 , , , , , 1 2 A E E B B  定理3    ( ) ( ) ( | ) 1 i i P A P Bi P A B  = = 由 = B1 + B2 +知 A B1 B2 B3  Bn 证 P(A) = P(A ) ( ) ( | ) 1 i i P Bi P A B  = = ( ) 1   = = i P ABi         =   = ( ) i 1 P ABi （全概率公式） 

定理3设!2为试验E的样本空间B1,B2,为 2的一个划分A是E的任一事件且P(4)>0,则 P(B;4) ∑P(B)P(A|B1) 增加条件 PB)P(AB)(贝叶斯公式)加 证由P(B1|A) P(AB P(BP(A B) P(4) P(A) 条件概率 计算公式 代入 P(4)=∑P(B)P(A|B)即知 贝叶斯资料 (全概率公式) 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） 定理3 的一个划分 是 的任一事件 则 设 为试验 的样本空间 为 , , , , , 1 2 A E E B B  4   ( ) ( ) ( | ) 1 i i P A P Bi P A B  = = 证 由 ( ) ( ) ( | ) P A P Bi P A Bi = （全概率公式） 且P(A)  0 即知 ( ) ( ) ( | ) P A P AB P B A i i =   = = 1 ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( | ) i i i i i i P B P A B P B P A B P B A （贝叶斯公式） 增 加 条 件 条件概率 计算公式 代入 贝叶斯资料