北京化工大学：《理论力学》课程教学资源（教案讲义）第二章 平面力系 §2-2 平面力对点之矩.平面力偶

(4) $2-2平面力对点之矩.平面力偶 运动效应（外效应） 移动效应（取决于力的大小及方向） 力的效应 变形效应（内效应） 转动效应（引入力矩的概念和计算） 人方树点之矩功矩转司他{8的商《衡力胞物钠衡价南关 (历代数室伴面月题户{：生 (力F对点0之矩) (显然：当F=0 一M(匣=0：而h=0一表明力F作用线通过矩心) h=0 2、合力矩定理： 合力：F=∑F→力矩关系有：M(匠R上∑M(匠) 即：“合力之矩等于各分力之矩的代数和”（平面问题中） (解析表达式略》 例：皮带轮 Mo F=-Fr Mo(E上F2r 了：节圆半径（啮合圆） h 「啮合力：F 例：齿轮 求：Mo(F) 压力角：（啮合 法①：Mo(FFh=F·rcos0 法②：由合力矩定理：M(厅M(匠)+Mo(F)=Fcos0r M片 -P sin0.a M(@=-g212 Mg (PP sine-b 4合马B例： M@g22 思考题① 4 (MA()=? 思考题② A 出M4()=-

1 0 §2-2 平面力对点之矩.平面力偶 力的效应 1、力对点之矩（力矩） 转动效应 MＯ F＝ Ｆｈ “代数量”(平面问题中)  （力 F 对点Ｏ之矩） （显然：当   0 0 0 M F ＝ h F  ｏ      ；而 ｈ＝ 0  表明力 F 作用线通过矩心） ２、合力矩定理： 合力： FＲ ＝  Fi  力矩关系有：     ＭＯ FＲ ＝ ＭＯ Fi 即：“合力之矩等于各分力之矩的代数和”（平面问题中） （解析表达式略） 例 ： 皮 带 轮          Ｍ F ＝Ｆ r Ｍ F ＝－Ｆ r O ２ ２ Ｏ １ １ 例：齿轮    压力角： (啮合角) 啮合力：F  求： M F  Ｏ 法①： MＯ F＝Ｆ ｈ＝F r cos 法②：由合力矩定理：     ( ) ＭＯ F ＝ＭＯ Ft  MO Fr  F cos r 例：           M P ＝Ｐ ｂ M P ＝ Ｐ a Ｂ Ａ   sin sin 例：         2 / 2 2 2 Ｍ q ＝ ql Ｍ q ＝ ql B Ａ θ 径向力 节圆半径(啮合圆) 周向力 θ 思考题① 思考题② 运动效应（外效应） 变形效应（内效应） 移动效应（取决于力的大小及方向） 转动效应（引入力矩的概念和计算） ①力度（与力和力臂的乘积大小有关） ②转向（与力使物体的转向有关） 逆时针：“＋” 顺时针：“—” （4）

补充介绍：两个平行力的合成①、同向 合力：E=F+EB 作用点：AC/BC=F/E:(内分线段) FB ②、反向CA-日°合力：=1 (条件：E≠Fa)FFA作用点：AC/BC=F,/BA(外分线段) 思考：若平行反向的两个力大小相等，结果应如何？ 3、力偶与力偶矩： 力偶(F、F'):等值、反向但不共线的两个平行力，“特殊力系” F (注：力与力偶是静力学中的两个基本力学量，“广义力”) (①力偶不能合成为一个力（即：不能与一个力等效替换）[注：无合力与合力为零是不同的概念] 注： ②力偶不能与一个力平衡 ③力偶自身不能平衡 ④力偶只能与力偶平衡 女：力偶对物体（刚体）的转动效应 {力度一力偶矩：M(或M、F 1转向 力偶矩：M=±Fd(d:力偶臂) 代量{： 力偶矩：M=Fd 求：1 两力对平面内任一点之矩（之和）：M(厅，F上M(厅+M(F） a (注意有无下标“o”区别) =F+d )-F'.x=Fd 即：M(F,F=M(∈M(F,F) 结论：力偶中两力对作用面内任一点之矩的代数和恒等于该力偶矩。 (力偶对刚体仅有转动效应。) 4、同平面内力偶的等效定理：“力偶矩相等（含大小及转向），力偶等效” 凸推论厂@方偶可能在其作用面内任意移转，面不改变对刚体的作用（与位置无关》。 (②只要保持力偶矩的大小及转向不变，可同时改变力偶中两力的大小和力偶臂的长短。 M 力偶表示方法： 5、平面力偶系的合成和平衡条件

2 力度 转向 补充介绍：两个平行力的合成 ①、同向 合力：FR=FA+FB 作用点：AC/BC=FB/FA（内分线段） ②、反向 合力：FR=∣FA-FB∣ （条件：FB≠FA） 作用点：AC/BC=FB/FA（外分线段） 思考：若平行反向的两个力大小相等，结果应如何？ 3、力偶与力偶矩： 力偶（ F、 F ）：等值、反向但不共线的两个平行力，“特殊力系” （注：力与力偶是静力学中的两个基本力学量，“广义力”） ①力偶不能合成为一个力（即：不能与一个力等效替换）[注：无合力与合力为零是不同的概念] 注： ②力偶不能与一个力平衡 ③力偶自身不能平衡 ④力偶只能与力偶平衡 ☆：力偶对物体（刚体）的转动效应 力偶矩：M（或 MF、 F ） 力偶矩： Ｍ＝ Ｆｄ （d：力偶臂） 代数量 力偶矩： M  Fd 两力对平面内任一点之矩（之和）： M F， F ＝Ｍ F＋Ｍ F  Ｏ Ｏ Ｏ   (注意有无下标“O”区别) ＝Ｆ ｘ＋ｄ －Ｆ  ｘ＝Ｆｄ 即： ＭＯ F,F＝M ( M(F,F)) 结论：力偶中两力对作用面内任一点之矩的代数和恒等于该力偶矩。 （力偶对刚体仅有转动效应。） 4、同平面内力偶的等效定理：“力偶矩相等（含大小及转向），力偶等效” ①力偶可能在其作用面内任意移转，而不改变对刚体的作用（与位置无关）。 ②只要保持力偶矩的大小及转向不变，可同时改变力偶中两力的大小和力偶臂的长短。 力偶表示方法： 或 例： 5、平面力偶系的合成和平衡条件 例： 求： 逆时针：“＋” 顺时针：“—” 推论

①合成：合力偶矩：M=∑M ②平衡：∑M=0(或：∑M=0) 求：A、B两处反力 解：AB→受力图→平衡方程 :主动力为力偶 A、B两处反力必组成一力偶与主动力偶M平衡 由平衡方程∑M=0-M+F1=0 有（仁6=兴 a哪个结构A处约束反力大？ B① b b M 已知：M,r及0 A M大小 求：图示位置平衡时 O.B两处反力 ①轮0 ∑M=0 M,-Frsi=0 FA Fo 得E,==Mne ②杆BCC M2 zM=0-场+i0 A 得：M2=… 且有：FB=F=F4=F

3 ②杆 ①合成：合力偶矩： M   Mi ②平衡： Mi  0 （或： M  0 ） 求：Ａ、Ｂ两处反力 解：ＡＢ  受力图  平衡方程 ∵主动力为力偶  Ａ、Ｂ两处反力必组成一力偶与主动力偶Ｍ平衡 即：受力图可简化为： 由平衡方程  M  o  M  FＢ l＝0 得 l Ｍ FＢ (＝FＡ )＝ 已知： M１ ,r及 求：图示位置平衡时    Ｏ、Ｂ 两处反力 Ｍ２ 大小 解： M  0 M１  FＡ rsin  0 得 rsin F ＝F ＝ Ｍ１ Ａ O M  0 0 sin      r M２ FＡ 得：M ２ ＝ 且有：F B FA  FA  FO   例： ① ② 思考： 哪个结构A处约束反力大？ θ 例： ①轮 O θ

求：图示位置平衡时M与P间关系。 2的6 ：B (是 解：①AB ΣM=0M-FBc·a=0 得Fc=% 个M FA-A ②点C(或CDF)Pea.Cy ∑F=0P-FCB COS45°=0 得P=FcB cos45°即：M=V2Pa 思考： B ☐c 求：A、B两处反力 思考 [M2=2M M2/ 分析：图示位置平衡时，应有？ M2=M★ 、M 设：图示位置平衡， 45c 且两个结构M,相同 问：哪个结构A处反力大？ 哪个结构M,大？ 作业：2-6,2-8b) 4

4 求：图示位置平衡时Ｍ与Ｐ间关系。 M  0 M  FＢＣ  a＝0 得 a Ｆ ＢＣ ＝Ｍ  Fx  0  cos 45  0  P FCB 得  P  FCB cos 45 即： M  2Pa 作业：2-6，2-8(b) 45° 例： 解：①②点 （或 杆） 思考： 求：A、B两处反力 60° 思考： 分析：图示位置平衡时，应有？           2 1★ 2 1 2 1 3 4 2 M M M M M M 设：图示位置平衡， 且两个结构 M1 相同。 问：哪个结构Ａ处反力大？ 哪个结构 M 2 大？ 思考： ① ②