北京化工大学：《理论力学》课程教学资源（教案讲义）第十二章 动能定理 §12-6 普通定理的综合应用举例.

(22) §12-6普通定理的综合应用举例.（§12-4、§12-5不要求） 动量定理 >矢量形式（解题时应用投影式） 动力学普通定理 动量矩定理 动能定理 一标量形式 「☆可用不同定理求解同一问题 分类 、☆须综合应用不同定理求解 例： 厂1、a 求：2、A轮绳拉力及地面反力 (3、B.处反力 (注：一般可首选动能定理) 1、整体：，应用动能定理T2-T=∑w了=0（注意：受力及运动分析） mvmmg +2m) 工w=%g。即：Cm+ma+2m,)=m,助： 求导：2y4·a4()=megvc 有：e=2y4→∴可得a4=… 2、轮A:应用平面运动微分方程 xma4=T,”-F T A y:0=N-mg →得{ o:Ja4’=T4R+FR F IN? 有a=% 3、轮B ①油定轴转动微分方程(Ja=∑m(E) Jaaa=Tc·Ra-TRa→得：Tc= TN品qe 有a=20，（他可分标物c得。= 令由质心运动定理 mag x:mgag =N-Ti =.. (重点：动能定理 平面运动微分方程

1 动力学普通定理 分类 §12-6 普通定理的综合应用举例.（§12-4、§12-5 不要求） 动量定理 动量矩定理 动能定理 — 标量形式 ☆.可用不同定理求解同一问题 ☆.须综合应用不同定理求解 １、 A a 求： ２、Ａ轮绳拉力及地面反力 ３、Ｂ.处反力 （注：一般可首选动能定理）. 1、整体：.应用动能定理 T2 T1  w T1  o （注意：受力及运动分析） 2 ) 4 3 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 A A A A B B c c A mA mB mc T  m v  J   J   m v  v   w  mcghc 即： A mA mB mc mc ghc v   2 )  4 3 ( 2 求导： A aA mc gvc 2v  ()  ∵有： c A v  2v .  ∴：可得 aA  2、轮Ａ： 应用平面运动微分方程.               A A A A A A A A A A A A J T R F R y o N m g x m a T F ? ? ? ? : : :    得      A A A F N T 有： A A A R a   3、轮Ｂ ①由定轴转动微分方程（ ( ) e z mz Fi J    ） B B TC RB TA RB J      得： TC  有： B A B R 2a   （也可分析物 C 得 TC  ） ②.由质心运动定理.              By B C o B By Bx A o B Bx y m a N m g T x m a N T : :  得        By Bx N N （重点： ＞矢量形式（解题时应用投影式） 纯滚动 例： ω ω α α （22） 动能定理 平面运动微分方程

已知：A、B两轮质量均为m,对转轴转动惯量均为J,C物质量为m。 初始系统静止且弹簧为原长。 l、ye、ae c 求：物C下降h。时的 2、齿轮间的（切向）啮合力 3、B处反力 解：1、整体：应用T2-T=∑wT=0 似+0+0 工w=风g成-=观欧哈是灵孕=风碱一克 对风+的=风晚竞妮户备 求导2。a.()=m8-22得：a:= Te 2、c物： meg-T。=mea。→得：Te=… a 3、B轮 F Fr 哈合力：鑫向 E:切向 有：F,=F,g0(0:压力角，一般己知) O应用定轴转动微分方程：Js4s=了R-E·2→F=…→可得：F,及F ②应用质心运动定理 即： x:mgd ge=∑F→0=Nm+F,→N=… y:mg4=∑F→0=N-E-mBg-T。=0→N=… (简单说明教材中的解法，将B轮与C物一起分析，利用质点系的动量和动量矩定理。学生自习) 2

2 已知：Ａ、Ｂ两轮质量均为 m ，对转轴转动惯量均为 J ，C 物质量为 mc 初始系统静止且弹簧为原长。 1、 c v 、 ac 求：物 C 下降 c h 时的 2、齿轮间的（切向）啮合力 3、Ｂ处反力 解：１、整体：应用 T2 T1  w T1  0 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 2 ( 2 1 ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 R R R v J R v T m v J J m v J c c c c B B A A c c           ) 8 5 2 1 ) ( 4 5 ( 2 1 2 2 2 2 R J v m R J  vc mc   c c  2 2 2 32 ) 2 1 2 ( 2 1 2 1 c c c c c c c c h k m gh R R R R h W  m g  h  k s  m gh  k      即： 2  2   2  32 ) 8 5 2 1 ( c c c c hc k m gh R J v m 得： vc  求导： c  c  c  c  hc  vc  k v a m g v 2 32 2 () 得： ac  mc g Tc  mcac  得： Tc  3、Ｂ轮 啮合力    F 切向 F ：径向 t r : 有： Ｆ r  Ft tg （θ ：压力角，一般已知） ①应用定轴转动微分方程： B B  c   t   Ft   R J T R F 2  可得： Fr 及 F ②应用质心运动定理 即：                        By t B c By e B Bx x Bx r Bx e B Bx x y m a F N F m g T N x m a F N F N : 0 0 : 0 （简单说明教材中的解法，将 B 轮与 C 物一起分析，利用质点系的动量和动量矩定理。学生自习） ω 例： ω α （24） 2、 物： θ

例： R 已知：杆质量m,长21： 初始静止，p=p。 求：杆倒下后（任意瞬时）1、杆o及 77:流水平面 12、地面反力 解：1、应用动能定理：T3-7=∑WT1=0 =m2+J,o2 ∑W=mg(1cosp。-1cosp)(仅由动能定理无法解出) 2、由质心运动定理：∑F=0aa=0→va=常量又：初始静止∴vx=0 即：V。=vg→由此可确定瞬心c 万-m+o-smpo+20)-o 1 房A 0=… 中 求导：可得a=… 3、由相对质心动量矩定理： Jea=N Isino→得：N4=… 例： 已知：均质轮质量m半径R4 物B质量mg、初始系统静止， B 求：轮沿斜面纯滚下时B物加速度ag 7光滑水平面 解：1、整体、由动能定理T2-T=∑wT=o 乃=2m哈+与m听+4o→如何简化为vg的表达式？ w=mg·s:sin0 法{ 一有：可，=元。+元，→4=下g+可

3 ２、选 已知：杆质量ｍ，长 2l ； 初始静止，   o 求：杆倒下后（任意瞬时） １、杆  及  ２、地面反力 解：１、应用动能定理： T2 T1  W T1  0 2 2 2 2 1 2 1 T  mvc  Jc W mg(l cos l cos)   o  （仅由动能定理无法解出） ２、由质心运动定理： F o e  x  acx  o  vcx  常量 又∵初始静止 ∴ vcx  o 即： vc  vcy  由此可确定瞬心  c 2 2 2 2 2 2 (2 ) ) 12 ( 2 1 ( sin ) 2 1 2 1 2 1         l  m T mv J m l c c 2 2 2 2 2 6 1 sin 2 1  ml   ml  即： ( cos cos ) 6 1 sin 2 1 2 2 2 2 2 ml   ml   mg l o  l    求导：可得   3、由相对质心动量矩定理： Jc  NA lsin  得： NA  已知：均质轮质量 mA 、半径 RA 物Ｂ质量 mB 、初始系统静止， 求：轮沿斜面纯滚下时Ｂ物加速度 B a 解：１、整体、由动能定理 T2 T1  w T1  o 2  2  2  2  2 1 2 1 2 1 B B A A A A T m v m v J  如何简化为 B v 的表达式？  w mA g ssin 动点：轮上Ａ点 动系：Ｂ Φ ω 光滑水平面 例： ω α Φ 光滑水平面 例： θ → 有： a e r A B r v  v  v  v  v  v

有：v7=层+2-2vBy,cos0 Ta⑦W 5-gng+成-%w+mg觉 (解释：0。=0，) 3、整体：应用质点系动量定理（动量守恒） :∑F=0.P=常量又：初始静止.P=0 即：P=mgV+mAV=0 有a= vu=g-y,cos日 即：mvg+m,a-,cs=0今，=m4+m 将y,=…代入T,得：v()=mags sin8 求导2y0)=m8,s血0 可得：ag=… 品 思考题1： 思考题2：两个质量相同但半径不 同的均质圆盘，初始静止平放在光 思考3： 滑水平面上，同时作用一常力偶， 2 G 比较：①经过同样时间后②转过同 样角度后两个圆盘的动量、动量矩 求：A处反力回 求：A处反力 和动能。 大、2绳相同，F缓慢加载时与 突然加力时，1、2绳谁先断 作业：综14及补充题 L∠ 补充作业： B 已知：A、B、C、D均重Q,A、B、C为均质圆轮，半径为R 初始静止， 纯滚动 30 轮A绳拉力及地面反力 B处反力， D 5器0，京90060 4 37

4 纯滚动 补充作业： 求： 求： 处反力 求： 处反力 思考题1： 思考题 2：两个质量相同但半径不 同的均质圆盘，初始静止平放在光 滑水平面上，同时作用一常力偶， 比较：①经过同样时间后②转过同 样角度后两个圆盘的动量、动量矩 和动能。 、 绳相同， 缓慢加载时与 突然加力时， 、 绳谁先断？ 思考3： 有： 2 cos 2 2 2 A B r B r v  v  v  v v 即： 2 2 2 2 2 2 )( ) 2 ( 2 1 ( 2 cos ) 2 1 2 1 A A r B B A B r B r A R R v T  m v  m v  v  v v   m (解释： a r ) 3、整体：应用质点系动量定理（动量守恒） ∵ F o e  x  ∴ Px  常量 又∵初始静止 ∴ Px  o 即： Px  mB vBx  mA vAx  o 有       Ax B r cos Bx B v v v v v 即： mB vB  mA (vB  vr cos)  o B A A B r v m m m v cos    将 vr  代入 T2 ，得： ( ) sin 2 v m gs B   A 求导 2vBaB ()  mA gvr sin 可得： aB  （ B A A B v m m m cos  ） 作业：综 14 及补充题 已知：A、B、C、D 均重 Q，A、B、C 为均质圆轮，半径为 R， 初始静止， A a 轮Ａ绳拉力及地面反力 Ｂ处反力， 答案： 2 2 16 21 A v g Q T  aA g 21 4  NA Q 2 3  TA Q 14 11  FA Q 21 2  TB Q 42 37  NBx 3Q 28 11  NBy Q 84 191  θ