北京化工大学：《理论力学》课程教学资源（教案讲义）专题部分——机械振动基础

(25) 专题部分机械振动基础 机动：质系统在平有位置用近的种复性运动{级。内力 力学模型：弹簧质量系统。 例： ↓k西 不计梁质量 单自由度系统： 9四 m位置只需一个坐标即可确定 多自由度系统： 蝴翔网房.→刻 (最简单的多自由度系统一两个自由度系统) 女单自由度系统的自由振动 一、无阻尼自由振动：物体受初始干扰后，仅在系统恢复力作用下维持的振动 “阻尼"”：振动过程中的阻力。例：介质阻力，摩擦力等。 w网x 弹性恢复力：F=-:运动微分方程：m=厂=-： 面即：+o3x=0式中：= 解：x=Asin(o,l+)“简谐运动” A:振幅 0.1+0:相位（角） (0:初相位（角） 注：A与0由运动初始条件定 周期：T=2红=2（每振动一次时间 0。 -宁云快 国：8-侣 0。=2对：0。：2T秒内振动次数 仪与系统本参据仅有关，目有级率~度国有圆频率

1 害：地震 利：除沙、消除内力 即： 0 2 2 2  x  dt d x o 式中： m k o  2  仅与系统基本参量    k m 有关，“固有频率”或“固有圆频率” 圆频率： m k o  ； f o  2 ：o ：2π 秒内振动次数 频率： m k T f 2 1 1   （每秒振动次数） 专题部分 机械振动基础 机械振动：质点或系统在其平衡位置附近的一种往复性运动。 力学模型：弹簧质量系统， 例： 单自由度系统： m 位置只需一个坐标即可确定 多自由度系统： （最简单的多自由度系统→两个自由度系统） ☆单自由度系统的自由振动 一、无阻尼自由振动：物体受初始干扰后，仅在系统恢复力作用下维持的振动 “阻尼”：振动过程中的阻力。例：介质阻力，摩擦力等。 弹性恢复力： F  kx 运动微分方程： F kx dt d x m  x   2 2 解： x  Asin( t ) o “简谐运动” Ａ：振幅 o t  ：相位（角）  ：初相位（角） 注：Ａ与  由运动初始条件定 不计梁质量 或 弹性元件 惯性元件 θ 光滑面 θ ω （25） 周期： k m T o    2 2   （每振动一次时间）

①无阻尼自由振动规律为简谐运动， 结论 ②振动频率仅决定于系统结构的基本参量(m、k), ③振幅A、初位相阳取决于运动初始条件 例：（分析）常力对自由振动的影响， L 。=%:“静变形”F=-6。+) lo 父k 有：m=P-F=P-6+对=-在 常力仅影响振动中心，位置 m 即： 空+x0(-点结论{力不影动 V P mg 又：由。=m-m ,及一工程中可使用此法求系统@。 介绍：弹簧的并联与串联（等效弹簧刚度系数）， ①并联：等效弹簧刚度系数：kg=k+k2(k) +k2(增加) 固有频率：，=m-m 思考： kk2 k33 ②串联：等效弹簧度系数：k,一k十k3 固有频率：0。一mk+k幻) k,k、 宛 (减小) m 二、有阻尼自由振动 阻尼：振动过程中的阻力（介质阻力，摩擦阻力，内部（结构）阻尼等，目前研究尚不充分) 粘性阻尼（介绍概念）：F=一下：线性（粘性）阻尼（当振动速度不大时），©：（粘性）阻尼系数 运动分方思：尚空=限-6，+动-e会 m 得：+25会+oix=0 1δ=hm dr= @=m x 「①.6已失去振动特性 C③.6>o。即c>2√mk “过阻尼情况”（大阻尼） 2

2 思考： δ 固有频率： ( ) 1 2 1 2 m k k k k o    （减小） 又：由 st st o g m mg m k        工程中可使用此法求系统 o 即： 0 2 2 2  x  dt d x o ( ) 2 m k o  有： P F P k x kx dt d x m     ( st  )   2 2  常力仅影响振动中心位置 常力不影响振动规律 结论 得： 2 0 2 2 2   x  dt dx dt d x  o 式中        m k m c o 2 2   ①无阻尼自由振动规律为简谐运动， 结论 ②振动频率仅决定于系统结构的基本参量（ m 、k ）， ③振幅 A 、初位相θ 取决于运动初始条件， 例：（分析）常力对自由振动的影响， k P  st  ：“静变形” F k( x)    st  介绍：弹簧的并联与串联（等效弹簧刚度系数）， ①并联：等效弹簧刚度系数： 1 2 k k k eq   ( ) xd k ②串联：等效弹簧刚度系数： 1 2 1 2 k k k k keq    二、有阻尼自由振动 阻尼：振动过程中的阻力（介质阻力，摩擦阻力，内部（结构）阻尼等，目前研究尚不充分） 粘性阻尼（介绍概念）： F cv c   ：线性（粘性）阻尼（当振动速度不大时），ｃ：（粘性）阻尼系数 ①.＜o 即 c＜2 mk .“欠阻尼情况”（小阻尼） 分析 ②. o 即 c  2 mk “临界阻尼情况” ③.＞o 即 c＞2 mk “过阻尼情况”（大阻尼） δ ＞已失去振动特性 固有频率： m k k m keq o 1  2    （增加） 运动微分方程：      dt dx mg k x c dt d x m st ( ) 2 2  dt dx kx c dt d x m    2 2

仅讨论“小阻尼情况”。解为：x=4esin(out+)式中：oa=√o2-62 有阻尼自由振动的固有频率 δt 特点：“衰减振动” 2π 2π 周期Ta= 2元 2π ①振动周期增大，频率减小： 0ao2-20--2→>T= 0。 δ 式中：5= “阻尼比”（小阻尼情况：5<1） 0.2√mk 又：空气中振动系统的阻尼比5较小.可近似认为 0a≈0o Ta≈T ②振幅呈几何级数衰减 两相邻振幅之比： 4ee→“减缩因数”（振幅衰减率〕 4=→“对数减缩"（对数衰减率） 创：若闲尼比：5=日，=005→对频率影响不大（仅下降0125%） 0.2√mk 但对振幅影响极大：A+,=0.73A,→经过10个周期后，振幅仅为原有的4.3% 作业：并、串连弹簧的分析计算 理论力学复习重点内容 一、静力学：平面任意力系：物体系统的平衡问题 点的合成运动 二、运动学： 及综合问题 刚体的平面运动 三、动力学：质点系（主要是刚体或刚体系统）的动力学问题 动量定理 动力学普遍定理 动量矩定理 及综合问题（特别是：恸能定理及平面运动微分方程 动能定理 1、重点复习内容：2、复习方法建议（作业→笔记→教材） 3、考试题目类型：4、答疑时间和地点。 3

3 又：∵空气中振动系统的阻尼比  较小 ∴可近似认为      Td T d o 式中： mk c o 2      “阻尼比”（小阻尼情况： ＜１ ） 例：若阻尼比： 0.05 2    mk c o    对频率影响不大（仅下降 0 0 0.125 ）      d i i n T A A l  1 “对数减缩”（对数衰减率） 两相邻振幅之比：        d d i T ti T t i i e Ae Ae A A    ( ) 1 “减缩因数”（振幅衰减率） 二、运动学： 仅讨论“小阻尼情况”。解为： sin( )     x Ae t d t 式中： 2 2 d  o   有阻尼自由振动的固有频率 特点：“衰减振动” ①振动周期增大，频率减小： ②振幅呈几何级数衰减 但对振幅影响极大： Aii  0.73Ai  经过 10 个周期后，振幅仅为原有的 4.3％ 作业：并、串连弹簧的分析计算 理论力学复习重点内容 一、静力学：平面任意力系：物体系统的平衡问题 点的合成运动 刚体的平面运动 三、动力学：质点系（主要是刚体或刚体系统）的动力学问题 动量定理 动力学普遍定理 动量矩定理 及综合问题（特别是：动能定理及平面运动微分方程 动能定理 1、重点复习内容；2、复习方法建议（作业  笔记  教材） 3、考试题目类型；4、答疑时间和地点。 δ 及综合问题 周期 o o o d Td ＞Ｔ＝           2 1 2 2 2 2 2 2      