北京化工大学：《理论力学》课程教学资源（教案讲义）第十章 动量定理 §10-3 质心运动定理

(18) 例： 初始系统静止，p=p。 A 杆释放后，近似以=p。cos规律摆动。 光滑水平面 求：物块A的最大速度 (TB B 解：分析整体 :ΣF=0P,=常量=0(：初始静止) (水平方向动量守恒) 即：mV+mBV=0→mV4+mg(vA-yn)=0(有：y,=l0) 得：vAmA+mB mBVr 分析：当p=0时，vx最大，即：(yn）=l0a=lop。 得：(v）m= mlop。 ma+ma §10-3质心运动定理 m 。=￡mx 1、质量中心（质心） →y m 2 质点系动量：下=m下。（复习偏心杆的转动的动量计算） 2、质心运动定理 注意条件，(m=常量) 由项动量定程空=Σ子→子成)=Σ子年-工 即：ma。=Σ：（质点系的质量与质心加速度的乘积等于质点系外力的矢量和（外力主矢）) 形式同nma=F ☆质点系质量全部集中于质心一点 质心的运动可视为一个质点的运动，→假想☆质点系外力全部集中于质心一点 :☆质心运动定理可用于分析物体随质心运动的平动间题 注☆质点系内方不影响质心的运动（例：车行驶必须要有外部的摩挥力》 max=∑F d-EFy 投影式：{ 又：m兰=F片 0=∑F8

1 形式同 ma  F 由质点动量定理 e i e c c i e i F dt dv mv F m dt d F dt dp    ( )      注意条件（m=常量） ☆质点系质量全部集中于质心一点 ☆质点系外力全部集中于质心一点 得： A B B rx A m m m v v   初始系统静止，   o 杆释放后，近似以 t  o cos 规律摆动。 求：物块 A 的最大速度 解：分析整体 ∵ F o e  x  ∴ px  常量  0 (∵初始静止) （水平方向动量守恒） 即： mA vAx  mB vBx  0  mA vA  mB (vA  vrx )  0 （有： v l  r  ） 分析：当   0 时， rx v 最大，即： rx o (v )max  l  max  l §10-3 质心运动定理 1、质量中心（质心） 质点系动量： c p  mv （复习偏心杆的转动的动量计算） 2、质心运动定理. 即： e mac   Fi （质点系的质量与质心加速度的乘积等于质点系外力的矢量和（外力主矢）） 质心的运动可视为一个质点的运动，  假想 （18）                 c c i i c i i c z y m m x x m m r r 注 ☆质心运动定理可用于分析物体随质心运动的平动问题 ☆质点系内力不影响质心的运动（例：车行驶必须要有外部的摩擦力） 投影式：        z y ma F e cx x 又：                e b e n c e t c F F v m F dt dv m 0 2  得： A B B o A m m m l v    max ( ) Φ 光滑水平面 例：

思考题：问 ①哪个轮C点运动快 ?e- ②两轮运动形式是否相同 两轮平放在光滑水平面 (初始静止) 例： 己知：AB长r,质量m1,其它构件m2,质心于E 力F=常量，w=常量，不计摩擦 求：A处的最大水平反力 1 二ro份+m,cse以：ma=Σ空→(m+ma=N-F马得N a= Nns=F+ro2(段+m)一 (思考：能否求出A处y向反力？) 3、质心运动守恒定律：由ma。=∑F e=0 若：∑=0，则：a。=0,可。=常矢量，若：再有初始质心静止，则质心位置不变： 若：∑F=o,则：ax=o,va=常量，若：再有初始va=0,则质心x,不变。 求：人走至船尾时，船的位移， 解：整体（质点系）， Q不计水阻∑F=0aa=0,即：ve=常量， 又初始静止(vx=0),x。=常量（不变）， a-肠+Qa W+0 (举例) W+O 2

2 ) 2 ( 2 2 1 max m m N F r Ax     由： ma F m m acx NAx F e cx   x  ( 1  2 )    得 NAx  思考题：问 ①哪个轮 C 点运动快 ②两轮运动形式是否相同 已知：AB 长 r ，质量 m1 ，其它构件 m2 ，质心于 E 力 F=常量，ω =常量，不计摩擦 求：A 处的最大水平反力 （思考：能否求出 A 处 y 向反力?） 3、质心运动守恒定律：由 e mac   Fi vc  o 若： F o e  i  ，则： ac  o，vc  常矢量，若：再有初始质心静止，则质心位置不变； 若： F o e  x  ，则： acx  o ，vcx  常量，若：再有初始 vcx  0 ，则质心 c x 不变。 求：人走至船尾时，船的位移， 解：整体（质点系）， ∵ F o e  x  ∴ acx  o ，即： vcx  常量， 又∵初始静止（ vcx  0 ），∴ xc  常量（不变）， 两轮平放在光滑水平面 （初始静止） ω Φ 例： (力偶) 不计水阻 例： 解：整体：质点系质心：C（运动方程）：           cos ( cos ) 2 1 1 2 1 2 m r b r m m m xc   m t m m m r dt d x a c c x   ) cos 2 ( 2 1 1 2 2 2 2      W Q Ql x x S W Q W b s Q a s l x W Q Wb Qa x c c c c                      1 2 2 1 ( ) ( ) （举例）

例：y 已知：均质细长杆长21，质量m 求：杆由图示位置静止自由倒下时A点轨迹 c B施。 解：AB杆（质点系） 了光滑水平面 ∑F=0∴a=0即va=常量， 又：初始静止，六x。=常量， xa=Icos。 xe2=xa=1cosp。 →即，=1cos,+1cs ly4-2 Isin。 [xA-1cosp。=Icoso =Isino 4 (思考：如何确定AB杆在运动时的速度瞬心) 初始系统静止， 求：小球m下滑时的轨迹 解：整体 ∑F=0∴ax=0即va=常量 77了光滑水平面 又：初始静止，x。=常量 om ko2=M-b)+m(Rsinp-b）a=xe2→得：b=mRsin2 M+m M+m b MRsin 则：m坐标 xm=Rsino-b= M+m 、R =1(椭圆) M+m

3 已知：均质细长杆长 2l ，质量 m 求：杆由图示位置静止自由倒下时 A 点轨迹 解：AB 杆（质点系） ∵ F o e  x  ∴ acx  o 即 vcx  常量， 又∵初始静止，∴ xc  常量， （思考：如何确定 AB 杆在运动时的速度瞬心） 初始系统静止， 求：小球 m 下滑时的轨迹 解：整体 ∵ F o e  x  ∴ acx  o 即 vcx  常量 又∵初始静止， ∴ xc  常量， Φ Φ 光滑水平面 例： 例： 光滑水平面 Φ       c c o c o x x l x l   cos cos 2 1 1  即       A o A o y l x l l    2 sin cos cos 2 2 2 4 ( cos ) sin 2 cos cos l y x l l y x l l A A o A A o                （椭圆） 1 2 2 1 ( ) ( sin ) c c c c x x M m M b m R b x x o                得： M m mR b   sin 则：m 坐标              cos sin sin y R M m MR x R b m m 1 2 2                       R y M m MR xm m （椭圆）

初始系统静止、 例 w(常量) 求：电机外壳的运动 602 解：整体 :∑F=0a=0即：vex=常量 7十7光滑水平面 又：初始静止，·x=常量 a [xd=a x2-网a-+m,a-5+es血到）a=a→得：5=m,esme(往复运动) 11+13 m+m2 注：若再y向运动分析，则由(m+m2agy=∑F=N-mg-m2g(ag可由y向运动方程求导得到) 分析：若有：0？>四+m8,则Nm ①m=m+m2 问：欲AB平衡，则应有 ②m>m+m, m: (③m<=m+m 问：B处绳突然剪断后，极短时间内质心C点除向下运动外，是 0. 向左还是向石运动 3、问：人在称重时，突然下蹲，秤会有何变化？从秤重的变化是否大致（定性）判断下蹲速度？ 简介：变质量质点的运动微分方程 m东=F+币式神：而-留， 若：血<0，→则：Φ与，方向相反. 也即：本与火箭发射方向一致：“反推力 作业：104：10-11 4

4 初始系统静止、 求：电机外壳的运动 解：整体 ∵ F o e  x  ∴ acx  o 即： vcx  常量 又∵初始静止，∴ xc  常量 注：若再 y 向运动分析，则由 m m a F N m g m g e 1  2 cy   y   1  2 （ cy a 可由 y 向运动方程求导得到） 可得 N   2 min 1 2 2 N  (m  m )g  m e 思考题： 有：OA=OB，m1＞m2 问：欲 AB 平衡，则应有： 问：B 处绳突然剪断后，极短时间内质心 C 点除向下运动外，是 向左还是向右运动？ 3、问：人在称重时，突然下蹲，秤会有何变化？从秤重的变化是否大致（定性）判断下蹲速度？ 简介：变质量质点的运动微分方程 也即：  与火箭发射方向一致：“反推力” 作业： 10-4；10-11 分析：若有： m e m m g ＞ 2 2 1 2 (  )  , 则 Nmin＜0  即：电机跳离地面（举蛤蟆夯例）             1 2 1 2 2 1 ( ) ( sin ) m m m a s m a s e x x a c c  c1 c2  x  x  得： 1 2 2 sin m m m e s    （往复运动） Φ 例： ω (常量) 光滑水平面    e F dt dv m 式中： r v dt dm   若： ＜0 dt dm ,  则：  与 r v 方向相反， ①m =m1+m2 ②m＞m1+m2 ③m＜=m1+m2 、