北京化工大学：《理论力学》课程教学资源（教案讲义）第十三章 达朗贝尔原理

(23) 第十三章达朗贝尔原理 要点：应用静力学中研究平衡问题的方法来研究动力学问题。“动静法” S13-1惯性力·质点的达朗贝尔原理 、万 m (FR=ma)有：ma=F+NF+N-ma=0 、下（生动力） 令：F,=-ma“质点惯性力” -ma 则有：F+N+万，=0“质点的达朗贝尔原理 (约束反力) 结论：作用在质点上的主动力、约束反力和假想的惯性力在形式上构成一平衡力系。 注意 厂女质点并未受到惯性力作用， (☆.“平衡力系”实际并不存在， [Fx+Nx+Fg=0 [F,+N:+Fn=0 投影式（直角坐标） 自然坐标 Fn+Nn+Fi=0 =0 注意 §13-2质点系的达朗贝尔原理 对某1质点，有：F+N,+F,=0(形式上“平衡”的汇交力系) 对整个系统，有：所有主动力，约束反力和惯性力在形式构成一平衡力系（空间任意力系） 对某i质点的：F+N,+F=0→F+F+F=0 F+F “外”“内 主矢为零：万+∑+∑FM=0 对质点系的空间任意力系的“平衡条件”，有： 主矩为零：∑M()+∑M()+∑M。(下)=0 ∑E+∑F,=o 又：质点系内力的性质“最后有： ∑M(E)+∑M(厘)=o Σ下4：惯性力系的主矢 ZF,=0 式中 对于平面问题，有：∑F,=0 ∑M。(正，)：惯性力系的主矩 ∑M。=o (若为空间力系，则应有六个投影方程)

1 对质点系的空间任意力系的“平衡条件”，有： 又∵质点系内力的性质 ∴最后有： 式中： 对于平面问题，有：            M o F o F o o y x 注意 投影式（直角坐标）         z y Fx Nx FIx o 自然坐标              F N o F N F o F N F o b b n n In t t It 第十三章 达朗贝尔原理 要点：应用静力学中研究平衡问题的方法来研究动力学问题。“动静法” §13-1 惯性力·质点的达朗贝尔原理 （ FR  ma ）有： ma  F  N  F  N  ma  o 令： FI  ma “质点惯性力” 则有： F  N  FI  0 “质点的达朗贝尔原理” 结论：作用在质点上的主动力、约束反力和假想的惯性力在形式上构成一平衡力系。 ☆.质点并未受到惯性力作用， ☆.“平衡力系”实际并不存在， §13-2 质点系的达朗贝尔原理 对某 i 质点，有： Fi  Ni  FIi  o （形式上“平衡”的汇交力系） 对整个系统，有：所有主动力，约束反力和惯性力在形式构成一平衡力系（空间任意力系） 对某 i 质点的： Fi  Ni  FIi  o  F F FIi o i i e i    主矢为零： F F FIi o i i e  i      主矩为零： M F M F Mo FIi o i o i e  o ( i )   ( )   ( )  F FIi o e  i    M F Mo FIi o e  o ( i )   ( )   FIi ：惯性力系的主矢 ( )  Mo FIi ：惯性力系的主矩 （若为空间力系，则应有六个投影方程） （23） i i e Fi  F “外” “内” 注意 （主动力） （约束反力）

§13-3刚体惯性力系的简化 要点：皮用静力学中筒化力系的方法，将体损性力系进行筒化，求出候性力系的贰士软 (为解题方便) 主为Fe=ΣF6=Σ-m,a)=-ma 1、刚体平移：惯性力系向质心C简化 主想Mc=o 2、定轴转动：（仅讨论转轴垂直于质量对称面的情况） ·惯性力系可简化为对称平面内的平面力系 主因Fio=-ma。 即：定轴转动，惯性力系向转轴简化 c 矩Mo=-Ja 入对称平面 或 c à酷 动量 （常量 特例： &o9 动量矩 思考： w a 动能 (惯性力系简化结果 3、平面运动 (平行于质量对称平面的情况) 一惯性力系可简化为对称平面内的平面力系。 分解 「随质心的平动 平面运动 绕质心的转动 +惯性力系向质心C简化 住奥Fc=-ma。 主想：Mc=-JC 7777纯滚动 求：安全运货时车的加速度a 解：货→平动（惯性力系向质心c简化）Fc=-ma。 79 F-Pa ∑Fx=0F-Fc=0 ΣF,=0N-P=0 三得N=P EM,-0F空Nd-0 d= ah 2

2 主矢 主矩 ω α ω α 或 1、刚体平移：惯性力系向质心Ｃ简化 即：定轴转动，惯性力系向转轴简化 平面运动 惯性力系向质心Ｃ简化 §13-3 刚体惯性力系的简化 要点：应用静力学中简化力系的方法，将刚体惯性力系进行简化，求出惯性力系的 （为解题方便） 主矢： FIC   FIi   miai  mac ( ) 主矩： M IC  o 2、定轴转动：（仅讨论转轴垂直于质量对称面的情况） 惯性力系可简化为对称平面内的平面力系 主矢： FIO  mac 主矩： M IO  J o 3、平面运动 （平行于质量对称平面的情况） 惯性力系可简化为对称平面内的平面力系。 分解 随质心的平动 绕质心的转动 主矢： FIC  mac 主矩： M IC  Jc 求：安全运货时车的加速度 a 解：货  平动（惯性力系向质心ｃ简化） FIC  mac                      0 2 0 0 0 0 0 N d h M F F N P F F F c y x IC  得             g ah d N P a g P F 2 ω ω α α 对称平面 α 纯滚动 例： 例： ( ) ω（常量） 特例： ( ) ω α ω α 思考： 动量 动量矩 动能 惯性力系简化结果

有f（时不医有- a P 不滑动：F≤N→a≤ 判断 >比较取小者 不翻倒：d≤号→a≤分8 W 47 例： 多 ∫a (绳拉力 c a 解：轮：平面运动，惯性力系向质心简化厂c三-m MIC=-Ja mg ZF.=0 5,=0T+Fc-mg=0 (分析：此三个方程是何方程的变形) M。=0Mc-Tr=0 [Fic=ma。(无-" 有： Mc=a=mg任 得7 a。=… 「杆a 求A处绳断瞬时： 0 C ⊥A 0处反力 解：杆→转动→惯性力系向转轴简化： ∫Fo=-ma。 Noy MIo=-Joa 绳断瞬时：0=o,∴a=o→即：ae=ad→Fo=F0 ∑Fx=0Nm=0 ΣF,=0Nw+Fo-mg=o >分析此时三个方程的实际意义， M。=0M0-ms30 Fo=ma。=m2a a 有： Mio=Ja= =可得：N 39 3

3  可得：      oy ox N N  有： a g P FIC  （此时不要有“—”号） 不滑动： F  Nf  a  fg 不翻倒： g h b a b d    2 c a 绳拉力 解：轮：平面运动，惯性力系向质心简化        IC c IC c M J F ma                  0 0 0 0 0 M M T r F T F mg F c IC y IC x （分析：此三个方程是何方程的变形） 有：            ( “ ” ) 2 ( " " ) 2 （无 号 r mr a M J F ma 无 号 c IC c IC c  得：        c a T 杆  O 处反力 解：杆  转动  惯性力系向转轴简化：        IO o IO c M J F ma ∵绳断瞬时：   o ，∴ a o n c   即： t ac  ac  t FIO  FIO                    o l M o M mg F o N F mg o F o N o o IO t y oy IO x ox 2 ＞分析此时三个方程的实际意义， 有：                3 2 2 ml M J l F ma m IO o t c t IO ＞比较取小者 例： α 判断 求 α 例： 求Ａ处绳断瞬时：

求：D处绳断瞬间，两绳拉力 LZLLt 例： 解：绳断后，板（曲线）平动，惯性力系向质心C简化 Fc=-ma。=-m(a+a) C D 绳断瞬时： =0.a=0a.=d→Fc=F (v4=0a4=o) §13-4绕定轴转动刚体的轴承动约束反力 例① 非对称平面 惯性力系： ∫Fo=o MIo=0 (常量) 惯性力系自成平衡力系，不会引起轴承动反力 例② A内卡& 惯性力系： Fo≠o 1Mo=0 山常量) 引起轴承动反力 2 例③ 惯性力系构成一力偶，引起轴承动反力 分析：避免出现轴承动反力应使惯性力系自成平衡力系！避免 出现轴承动反力的普遍条件，转轴应是刚体的“中心惯性主轴 w(常量) 通过质心的“惯性主轴” 静平衡：使转轴通过刚体质心（达到随偶平衡）可应用于转速较低的转子 动平衡：使刚体转动时不出现动反力，需在动平衡机上进行调整 作业131、补充作业： 己知：均质圆盘，质量m,半径R,位于铅直面内。 求：A处绳断时①a。:②o处反力 30 R

4 ° 求： D 处绳断瞬间，两绳拉力 解：绳断后，板（曲线）平动，惯性力系向质心Ｃ简化， ( ) n c t FIC  mac  m ac  a ∵绳断瞬时： ( ) . v o a o v o a o n A A n c c     ∴ t IC IC t ac  ac  F  F §13-4 绕定轴转动刚体的轴承动约束反力 惯性力系：      M o F o IO IO 惯性力系自成平衡力系，不会引起轴承动反力 惯性力系：      M o F o IO IO 引起轴承动反力 惯性力系构成一力偶，引起轴承动反力 分析：避免出现轴承动反力应使惯性力系自成平衡力系！避免 出现轴承动反力的普遍条件，转轴应是刚体的“中心惯性主轴” 通过质心的“惯性主轴” 静平衡：使转轴通过刚体质心（达到随偶平衡）可应用于转速较低的转子 动平衡：使刚体转动时不出现动反力，需在动平衡机上进行调整 作业 13-1、补充作业： 已知：均质圆盘，质量 m，半径 R，位于铅直面内。 求：A 处绳断时① c a ；② o 处反力 （答案： ac g 3 3  ； NOX mg NOy mg 2 1 6 3   ） 例： 对称平面 （常量） ω ω （ ） 例 ① ω 例 ② ω（常量） ω（常量） 对称平面 例 ③