北京联合大学：《应用数学与计算》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章（5.1）定积分的概念

第一节定积分的概念 除雪机除雪问题 二、曲边梯形的面积 三、定积分的概念与几何意义 四、小结 五、练习

一、除雪机除雪问题 二、曲边梯形的面积 第一节 定积分的概念 三、定积分的概念与几何意义 四、小结 五、练习

第一节定积分的概念 、除雪机除雪问题 冬天的大雪,使公路上积起厚雪而影响交通.有条10 kg长的公路由一台除雪机负责除雪.每当路面积雪平均厚 度达到0.5米时,除雪机就开始工作.但问题是开始除 雪后,大雪仍下个不停,使路面积雪越来越深,除雪机工 作速度逐渐降低,直到无法继续工作.若除雪机工作速度 ν(米/秒)与积雪厚度d(米)成正比,其在无雪路面上行走 速度为10米/秒,且当积雪达1.5米时,无法工作.试 给出除雪机工作速度与积雪厚度间的关系;若下雪速度恒 定为0.1厘米/秒,问一台除雪机可否完成任务

一、除雪机除雪问题 第一节 定积分的概念 冬天的大雪，使公路上积起厚雪而影响交通．有条 10 kg长的公路由一台除雪机负责除雪．每当路面积雪平均厚 度达到 0.5 米时，除雪机就开始工作．但问题是开始除 雪后,大雪仍下个不停，使路面积雪越来越深，除雪机工 作速度逐渐降低，直到无法继续工作．若除雪机工作速度 v(米/秒)与积雪厚度d(米)成正比，其在无雪路面上行走 速度为 10 米/秒，且当积雪达 1.5 米时，无法工作. 试 给出除雪机工作速度与积雪厚度间的关系；若下雪速度恒 定为 0.1 厘米/秒，问一台除雪机可否完成任务．

第一节定积分的概念 除雪机除雪问题 问题 (1)怎样才算完成任务? (2)怎样计算走过的距离? 结论除雪机所走过的路程为 s=imv△2

第一节 定积分的概念 (1)怎样才算完成任务? (2)怎样计算走过的距离? 除雪机所走过的路程为 一、除雪机除雪问题  → = =  n i i i λ s v ξ t 1 0 lim ( ) 问题 结论

第一节定积分的概念 二、曲边梯形的面积 y=f(x) 图/ 曲边梯形

二、曲边梯形的面积 第一节 定积分的概念 曲 边 梯 形 x y y = f (x) a b 如图

第一节定积分的概念 二、曲边梯形的面积 第一步:分割如下图 y=f(x) x

第一节 定积分的概念 二、曲边梯形的面积 第一步：分割． 1 x i−1 x n−1 x x y y = f (x) a b 如下图 i x

第一节定积分的概念 二、曲边梯形的面积 第二步:近似代替如下图

第一节 定积分的概念 二、曲边梯形的面积 第二步：近似代替．如下图 i−1 x i  i x

第一节定积分的概念 二、曲边梯形的面积 求 第三和,A≈∑f()x 第四步:取极限 曲边梯形的面积 A=lm∑∫(61)△x

第一节 定积分的概念 二、曲边梯形的面积 第三步：求 和．     = n i i i A f x 1 ( ) 第四步：取极限． 曲边梯形的面积  → = =  n i i i λ A f ξ x 0 1 lim ( )

第一节定积分的概念 三、定积分的概念与几何意义 1定积分的定义 设函数f(x)在区间a,b上有界, (1)分割 用分点a=x<x1<…<xn=b把区间 a,b分成n个小区间x1,x,记第个长 度为△x1=x1-x1

三、定积分的概念与几何意义 第一节 定积分的概念 设函数 f (x)在区间[a,b]上有界， 度 为 ． 分 成 个小区间 ，记第 个 长 用分点 把区间 1 1 0 1 [ , ] [ , ] − −  = − =    = i i i i i n x x x a b n x x i a x x  x b (1)分割 1.定积分的定义

第一节定积分的概念 三、定积分的概念与几何意义 1定积分的定义 设函数f(x)在区间a,b上有界, (2近似代替 在每个小区间x212x内任取一点;作 乘积f()Ax2(i=1,2,…,n)

第一节 定积分的概念 (2)近似代替 乘 积 ， ，， ， ． 在每个小区间 内任取一点 ， 作 ( ) ( 1 2 ) [ , ] 1 f ξ x i n x x ξ i i i i i  =  − 三、定积分的概念与几何意义 1.定积分的定义 设函数 f (x)在区间[a,b]上有界

第一节定积分的概念 三、定积分的概念与几何意义 1定积分的定义 设函数f(x)在区间a,b上有界, (3)求和记σ=∑f(31)△x (4)取极限 令λ=max{x1},不论对a,b怎样分法 Isin 也不论在小区闻x1a1,x上点怎样取法

第一节 定积分的概念 记  ． = =  n i i xi σ f ξ 1 (3)求和 ( ) (4)取极限 也不论在小区间 上 点 怎样取法． 令 ，不论对 怎样分法， i i i i i n x x ξ λ x a b [ , ] max{ } [ , ] 1 1 −   =  三、定积分的概念与几何意义 1.定积分的定义 设函数 f (x)在区间[a,b]上有界