北京联合大学：《应用数学与计算》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章（5.4）定积分的应用

第四节定积分的应用 定积分概念的推广 、定积分的应用 三、小结 四、练习

一、定积分概念的推广 二、定积分的应用 第四节 定积分的应用 三、小结 四、练习

第四节定积分的应用 定积分概念的推广 例某制造公司在生产了批超音速运输机 后停产了,但该公司将为客户终身供应种 适于该机型的特殊润濫,一年后该批飞机萌 油率(单位:L/年)由下式给出:r(t)=300t2 其中t表示飞机服役的年数心1,该公司要 次性生产该批飞机所霱润滑油并在需要时 出去,请问需要生产滑油多少L?

一、定积分概念的推广 第四节 定积分的应用 例 ? 1 / ( ) 300 2 3 L t t L r t t 出去，请问需要生产此润滑油多少 次性生产该批飞机所需的润滑油并在需要时分发 其 中 表示飞机服役的年数（ ），该公司要一 油率（单位： 年）由下式给出： ， 适于该机型的特殊润滑油，一年后该批飞机的用 后停产了，但该公司承诺将为客户终身供应一种 某制造公司在生产了一批超音速运输机之  = −

第四节定积分的应用 定积分概念的推广 1无穷区间的广义积分 设∫(x)∈Ca,+∞,且a<b.若极限 lim af(rdx b →)+ 存在,则称此极限值潮数f(x)在无穷区 间[a,+∞)上的广义积 分 记作f(x)ldx 也称此广义积分收敛

第四节 定积分的应用 一、定积分概念的推广 记作  a + f (x)dx ． 也称此广义积分收敛 1.无穷区间的广义积分  →+ b a b lim f (x)dx 设 f (x)C[a，+ )， 且a  b ．若极限 间 ， 上 的 存在，则称此极限值为函 数 在无穷区 [ ) ( ) a +  f x 广义积 分．

第四节定积分的应用 定积分概念的推广 1无穷区间的广义积分 即f(x)dx=limf(x)dx b->+ 类似地pf(x)dx=limf(x)dx o f(x dx=o f(rdx+e f(rdx 注意只有右端的两个广义 积分都收敛时,左端才收敛

第四节 定积分的应用 一、定积分概念的推广 即 类似地 1.无穷区间的广义积分   →+ + = b a b a f (x)dx lim f (x)dx   →− − = b a a b f (x)dx lim f (x)dx    + − + − = + c c f (x)dx f (x)dx f (x)dx 注意:只有右端的两个广义 积分都收敛时,左端才收敛

第四节定积分的应用 定积分概念的推广 1无穷区间的广义积分 例计算广义积分 例计算广义积分edx 练一练计算下列广义积分 + (2)Px 1+y

第四节 定积分的应用 一、定积分概念的推广 例 计算广义积分 x． x d 1 1 0 2  + + 例 计算广义积分 e x dx． 0 2 − − 计算下列广义积分   − + + 0 1 2 2 d 1 d (2) 1 (1) x x x x x 1.无穷区间的广义积分 练一练

第四节定积分的应用 定积分概念的推广 1无穷区间的广义积分 例计算广义积分e"dx 练一练计算下列广义积分 +0 (2)o xe dx

第四节 定积分的应用 一、定积分概念的推广 例 计算广义积分 − +  e x dx． 计算下列广义积分   + + − − + 2 0 d (2) e d 1 1 (1) x x x x x 1.无穷区间的广义积分 练一练

第四节定积分的应用 定积分概念的推广 2无界函数的广义积分 设f(x)∈C(a,b且imf(x)=0.若极限 x→I lim f(xdx → 存在,则此极限值为函数f(x)在(a,b上的 广义积分 也称此广义积分收敛 记作的∫(x)d

第四节 定积分的应用 一、定积分概念的推广 也称此广义积分收敛 记作 .  b a f (x)dx 2.无界函数的广义积分  → + b t t a lim f (x)dx 设  ， 且 = ．若极限 → + f (x) C(a,b] lim f (x) x a 存在，则此极限值为函数 f (x)在(a，b]上的 广义积分．

第四节定积分的应用 定积分概念的推广 2无界函数的广义积分 即f(x)dx= lim f(x)dx 类似地 iM I(r)=o So f(x)>0 lim la f(eadx t-b

第四节 定积分的应用 一、定积分概念的推广 即 类似地 2.无界函数的广义积分   → + = b t t a b a f (x)dx lim f (x)dx  b a f (x)dx  → − t a t b lim f (x)dx =  → − lim f (x) t b

第四节定积分的应用 定积分概念的推广 2无界函数的广义积分 类似地 lim f(r=oo ro f(xdxec af(xdx+scf(x )dx a<c<b 注意:只有右端的两个广义 积分都收敛时左端才收敛

第四节 定积分的应用 一、定积分概念的推广 类似地 2.无界函数的广义积分  b a f (x)dx  +  b c c a f (x)dx f (x)dx =  → lim f (x) t c a  c  b 注意:只有右端的两个广义 积分都收敛时,左端才收敛

第四节定积分的应用 定积分概念的推广 2无界函数的广义积分 例计算广义积分4x 例计算广义积分 IIn xdx 练一练计算下列广义积分 (1)-2dx (2)1,x,d

第四节 定积分的应用 一、定积分概念的推广 例 计算广义积分 x． x d 1 1 1 0 2  − 例 计算广义积分 0 1 ln xdx． 计算下列广义积分   − − 0 1 2 4 0 2 d 1 d (2) 1 (1) x x x x x 2.无界函数的广义积分 练一练