北京联合大学：《应用数学与计算》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章（4.2）导数

第二节导数 函数随自变量的瞬时变化率 导数的定义 导数的几何意义 三、导函数 四、高阶导数 五、小结 六、练习

一、导数的定义 五、小结 第二节 导数 六、练习 ——函数随自变量的瞬时变化率 二、导数的几何意义 三、导函数 四、高阶导数

第二节导数 、导数的定义 函数相应于其自变量在已知点处的 导瞬时变化率称为函数在此点的导数 数或者说 的定 函数相应于自变量在相应点附近平 义均变化率的极限即为导数

一、导数的定义 第二节 导数 函数相应于其自变量在已知点处的 瞬时变化率称为函数在此点的导数． 或者说 函数相应于自变量在相应点附近平 均变化率的极限即为导数． 1. 导 数 的 定 义

第二节导数 、导数的定义 记做y1, x=co 0 X=x 导 数即f(x)=lif(x+b)-f(x) 的 h→>0 义或f(x)=im(x)f(x) x→>x0 d-d

第二节 导数 一、导数的定义 记做 ， ， ， ． 0 0 0 d d d d ( ) 0 x x x x x x x f x y y f x = = =   即 或 1. 导 数 的 定 义 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + −  = → 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x x x − −  = →

第二节导数 、导数的定义 由此可得 导瞬时速度v()=s() 数的定义

第二节 导数 一、导数的定义 1. 导 数 的 定 义 由此可得： 瞬时速度 ( ) ( ) 0 0 v t = s t

第二节导数 、导数的定义 2求导的一般步骤 (1)求函数的增量4=∫(x+△x)-f(x) (计算比值4=f(x+Ax)-f(x) △ (3求极限(x)=im(+Ax)f(x A→>0

第二节 导数 一、导数的定义 (1)求函数的增量 (2)计算比值 (3)求极限 2.求导的一般步骤 ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x x f x x f x x y  +  − =   ( ) ( ) 0 0 x f x x f x f x x  +  −  =  → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0

第二节导数 、导数的定义 2求导的一般步骤 例求函数f(x)=sinx在x=0处的导数 练一练求函数(x)=x2在x=1处的导数

第二节 导数 一、导数的定义 例 求函数 f (x) = sin x 在 x = 0 处的导数． 练一练 求函数 f (x) = x 2 在 x =1处的导数． 2.求导的一般步骤

第二节导数 二、导数的几何意义 引例设有曲线C,其方程为 y=∫(x) 切线的斜率 线M。(x,y)为其上一点,求曲线 在点M处切线的斜率

第二节 导数 二、导数的几何意义 在 点 处切线的斜率． ， 为其上一点，求曲线 设有曲线 ，其方程为 0 0 0 0 ( ) ( ) M M x y C y f x C 切 = 线 的 斜 率 引例

第二节导数 二、导数的几何意义 引例如图N→M时,割线 的极限位置就是切 割线 切线的斜率 f(x) 切线 x+△x 动画

第二节 导数 切 线 的 斜 率 引例 二、导数的几何意义 如图 割线切线x y o M0 N 0 x x + x 0 T C : y = f (x) 的极限位置就是切线 当N → M0 时，割线 动画

第二节导数 二、导数的几何意义 引例 曲线y=f(x)在点M6(x,y) 切处切线的斜率为 线的斜率 k=lil f(x+△x)-f(x0) Ax→>0△r4x>0

第二节 导数 二、导数的几何意义 切 线 的 斜 率 引例 处切线的斜率为 曲 线 ( ) 在 点 ( ， ) 0 0 0 y = f x M x y x f x x f x x y k x x  +  − =   =  →  → ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0

第二节导数 二、导数的几何意义 导数的几何意义 导数f(x)就是曲线y=f(x)在点 M(x0,f(x0)处切线的斜率 曲线f(x)在点x,f(x)处的切线方程 y-yo=f(o(x-xo

第二节 导数 二、导数的几何意义 导数的几何意义 处切线的斜率． 就是曲线 在 点 ( , ( )) ( ) 0 0 x0 M x f 导 数 f (x0 ) y = f x 切线的斜率 曲 线 f (x) 在 点(x0 ，f (x0 ) )处的切线方程为 切线方程 ( )( ) 0 0 0 y − y = f  x x − x