北京联合大学：《应用数学与计算》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章（5.5）二重积分

第五节二重积分 矿山中矿物的储量 二、二重积分的定义及几何意义 三、二重积分的计算 四、小结 五、练习

一、矿山中矿物的储量 二、二重积分的定义及几何意义 第五节 二重积分 三、二重积分的计算 四、小结 五、练习

第五节二重积分 矿山中矿物的储量 例矿藏勘察人员发现了矿山,其中矿藏 含量高且均匀.为估谌中矿物质的含量,戡 察人员以山脚的某一蔚原点,以地面为oy 平面建立坐标系,并对貌进行了测量,得知 在这一坐标系下山顶面方程为=f(x,y), 其坐落的区域D为一地平面内方程为2+y2 R2所围成的圆域,试确崽中矿物质的总含量

一、矿山中矿物的储量 例 所围成的圆域，试确定其中矿物质的总含量． 其坐落的区域 为一地平面内方程为 在这一坐标系下山顶的曲面方程为 ， 平面建立坐标系，并对山貌进行了测量，得知 察人员以山脚的某一点为原点，以地面为 含量高且均匀．为估计其中矿物质的含量，勘 矿藏勘察人员发现了一矿山，其中矿藏 2 2 2 ( , ) R D x y z f x y xoy + = = 第五节 二重积分

第五节二重积分 矿山中矿物的储量 如图 称此几何体 zf(,y) 为曲顶柱体 曲顶柱体的体积为V=lim∑∫(;;)A 1→>0i=1

第五节 二重积分 一、矿山中矿物的储量 如图 x y z O z=f(x,y) 称此几何体 为曲顶柱体 曲顶柱体的体积为  → = =  n i i i i λ V f ξ η σ 0 1 lim ( , )

第五节二重积分 二、二重积分的定义及几何意y 1二重积分的定义 设∫(x,y)在有界闭区域D上是有 界函数, (1)分割将D任意分割成n个小闭区域 (2)作乘积:f(p;)△;(i=1,,m)

二、二重积分的定义及几何意义 第五节 二重积分 界函数， 设 f (x，y) 在有界闭区域D 上是有 (1)分割： ， ， ， ． 将 任意分割成 个小闭区域 σ σ σ n D n  1  2   (2)作乘积： i ηi σi f (ξ ， ) (i =1,2,  ,n) 1.二重积分的定义

第五节二重积分 二、二重积分的定义及几何意y 1二重积分的定义 设∫(x,y)在有界闭区域D上是有 界函数, (3)求和:∑f(11)a1 (4)取极限:lim∑f(0 1→>0i=1

第五节 二重积分 (3)求和： i n i  f ξ i ηi σ =1 ( , ) 界函数， 设 f (x，y) 在有界闭区域D 上是有 1.二重积分的定义 (4)取极限： i n i i i λ  f ξ η σ →0 =1 lim ( , ) 二、二重积分的定义及几何意义

第五节二重积分 二、二重积分的定义及几何意y 1二重积分的定义 设f(x,y)在有界闭区域D上是有 界函数, 若lim∑∫(ξ;;σ;存在,则称此极阳 1>0i=1 值为函数f(x,y)在区域D上的二重积 分

第五节 二重积分 二、二重积分的定义及几何意义 界函数， 设 f (x，y) 在有界闭区域D 上是有 1.二重积分的定义 值为函数 在区域 上 的 若 存在，则称此极限 f x y D f ξ η σi n i i i λ ( , ) lim ( , ) 0 1   → = 二重积 分．

第五节二重积分 二、二重积分的定义及几何意y 1二重积分的定义 记作』f(x,y)d·即被积函数 积D 区』f(x,y)dq=im>f(6;7△o 城 被积表达式 面积元素 曲顶柱体的体积为V=∫∫(x,y)da

第五节 二重积分 二、二重积分的定义及几何意义 记作 .  D f (x, y)dσ 即 积 分 区 域 被积函数 被积表达式 面积元素 曲顶柱体的体积为 1.二重积分的定义 i n i i i D λ  f x y σ =  f ξ η σ →0 =1 ( , )d lim ( , ) =  D V f (x, y)dσ

第五节二重积分 二、二重积分的定义及几何意y 2.二重积分的几何意义 (1)若f(x,y)≥0,则f(x,y)do表示曲J 柱体的体积; (2)若f(x,y)≤0,则f(x,y)do表示曲顶 柱体体积的负值;

第五节 二重积分 二、二重积分的定义及几何意义 (1) 柱体的体积； 若  ， 则 表示曲顶 D f (x, y) 0 f (x, y)dσ (2) 柱体体积的负值； 若  ， 则 表示曲顶 D f (x, y) 0 f (x, y)dσ 2.二重积分的几何意义

第五节二重积分 二、二重积分的定义及几何意y 2.二重积分的几何意义 (3)若f(x,y)既有正值,又有负值 ∫f(x,y)da表示曲顶柱体体积的做和

第五节 二重积分 二、二重积分的定义及几何意义 (3) 表示曲顶柱体体积的代数和． 若 既有正值，又有负值，则  D f x y σ f x y ( , )d ( , ) 2.二重积分的几何意义

第五节二重积分 二、二重积分的定义及几何意y 3.二重积分的性质 (1)(线性性质) Laf(x, y)+bg(x, y)do=al f(r, yodo+bg(x, y)do (2)(分域性质)设D=D1+D2 ∫f(x,y)da=』f(x,y)dσ+f(x,y)da

第五节 二重积分 二、二重积分的定义及几何意义 (1) (线性性质) (2) (分域性质) , 设 D = D1 + D2 3.二重积分的性质  + =  +  D D D [af (x, y) bg(x, y)]dσ a f (x, y)dσ b g(x, y)dσ  = +  1 2 ( , )d ( , )d ( , )d D D D f x y σ f x y σ f x y σ