深圳大学：《线性代数和概率论》课程教学资源（PPT课件讲稿，概率论）第6讲 连续型随机变量

概率论第6讲 连续型随机变量 本文件可从网址 http://math.vip.sina.com 上下载 (单击ppt讲义后选择工程数学子目录) 2021/2/20

2021/2/20 1 概率论第6讲 连续型随机变量 本文件可从网址 http://math.vip.sina.com 上下载 (单击'ppt讲义'后选择'工程数学'子目录)

若随机变量的分布函数F(x)恰好是某个 非负函数(x)在(-∞,x)上的积分,即 F(x)= (x)dx, 则称ξ为连续型随机变量,称∞(x)为ξ-的分布 密度(简称密度),也有称概率密度的,并称 的分布为连续型分布 2021/2/20

2021/2/20 2 若随机变量x的分布函数F(x)恰好是某个 非负函数j(x)在(-,x)上的积分, 即 ( ) ( ) , x F x x dx j - =  则称x为连续型随机变量, 称j(x)为x的分布 密度(简称密度), 也有称概率密度的, 并称x 的分布为连续型分布

图示 p(x) 阴影面积为F(x) X F(x)=9(x)x, 3 2021/2/20

2021/2/20 3 图示: j(x) O x x 阴影面积为F(x) ( ) ( ) , x F x x dx j - = 

积分记号 p(x)da a qp(u)dhu,的简写 例如 0 2021/2/20

2021/2/20 4 积分记号 ( ) , x a j x dx  是 ( ) , x a j u du  的简写 例如 2 2 3 3 0 0 0 1 1 3 3 x x x x dx u du u x = = =  

例7中的分布函数 0.x<0 F(x)={x,0<x≤1 1,1<x 就是函数 1,0<x<1, p(x) 0.其它 在(-∞,x)上的积分 5 2021/2/20

2021/2/20 5 例7中x的分布函数 0, 0, ( ) , 0 1, 1, 1 . x F x x x x    =       就是函数      = 0, . 1, 0 1, ( ) 其它 x j x 在(-,x)上的积分

图示 p(x) X t F(x) X 6 2021/2/20

2021/2/206 图示 O 1 x 1 j(x ) O 1 x 1 F(x )

当x≤0时, g(x)dx=0-x=0; 当0<x≤1时, 「(x)dx=()d+,m()d 0 Odx+ ldx=x 当1<x时, P(x)dx= (x)dx+Lo(x)dx+L. (x)dy 0 0·dx+1kdx+0x=1 0 7 2021/2/20

2021/2/20 7 当x0时, ( ) 0 0; x x j x dx dx - - = =   当0<x1时, 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 1 ; x x x x dx x dx x dx dx dx x j j j - - - = + = + =      当1<x时, 0 1 0 1 0 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 x x x x dx x dx x dx x dx dx dx dx j j j j - - - = + + = + + =       

可以证明,连续型随机变量的分布函数 是连续函数 分布密度(x)具有下列性质 (1)q(x)≥0; (2)|q(x)dx=1; b (3)P{a≤5<b}=9(x)x 8 2021/2/20

2021/2/20 8 可以证明, 连续型随机变量的分布函数 是连续函数. 分布密度j(x)具有下列性质: (1) ( ) 0; (2) ( ) 1; (3) { } ( ) b a x x dx P a b x dx j j x j + -  =   =  

直观上,以轴上的区间[a,b)为底,曲线 y=g(x)为顶的曲边梯形的面积,就是 P{a≤x<b}的值 y=gp b X 阴影面积为P{a≤x<b}的值 9 2021/2/20

2021/2/20 9 直观上, 以x轴上的区间[a,b)为底, 曲线 y=j(x)为顶的曲边梯形的面积, 就是 P{ax<b}的值. O x y y=j(x) 阴影面积为P{ax<b}的值 a b

由分布密度的定义,仿照高等数学中"关 于对积分上限的函数求导数的定理"的 证明,可得在g(x)的连续点处有 F(x)=(x) 需要特别指出的是,对于连续型随机变 量x来说,它取任一指定实数值a的概率 为0,即P{a}=0 2021/2/20

2021/2/20 10 由分布密度的定义, 仿照高等数学中"关 于对积分上限的函数求导数的定理"的 证明, 可得在j(x)的连续点处有 F '(x)=j(x). 需要特别指出的是, 对于连续型随机变 量x来说, 它取任一指定实数值a的概率 为0, 即P{x=a}=0