深圳大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）复习— 复变函数

复变函数

2 复变函数

复数的运算 Z=x+iy=re x=rcos6, y=rsin 6 r=Vx+y, tgoy sin 0 x +y

3 复数的运算 2 2 2 2 1 e cos , sin , tg ,sin i i z x iy r x r y r y y r x y x x y      = − = + = = = = + = = +

计算幅角要注意在复平面所在的象限 y

4 计算幅角要注意z在复平面所在的象限 x y O

例 3-2i 3-2i 3+2i(3+2i)(3-2)32+2 32 1313 3 √13 13 13 13 0=-arcts

5 例 2 2 2 2 1 3 2 3 2 3 2 (3 2 )(3 2 ) 3 2 3 2 13 13 3 2 13 13 13 13 2 arctg 3 i i i i i i r − − = = + + − + = −     = + =           = −    

arts x>0 X x=0,≠0 arg z actg士丌,x<0,y≠0; X 元, <0 y 0

6 argtg , 0; , 0, 0; 2 arg arctg , 0, 0; , 0, 0 y x x x y z y x y x x y          =   =          = 

复变函数的一个重要方面,就是说明实 变函数的微积分的许多结论,复变函数 也照样用 例如,在实变函数中函数的导数有 (x')=3x, (sin x)=cos x,(ex)=2e 则上面的变元统统改成复数z也成立 (z)=3z, (Sin z)=cos z, (e")=2e

7 复变函数的一个重要方面, 就是说明实 变函数的微积分的许多结论, 复变函数 也照样用. 例如, 在实变函数中函数的导数有 3 2 2 2 ( ) 3 ,(sin ) cos ,(e ) 2e x x x x x x    = = = 则上面的变元x统统改成复数z也成立 3 2 2 2 ( ) 3 ,(sin ) cos ,(e ) 2e z z z z z z    = = =

在实变函数中,一些函数可以按泰勒级数展开 例如 e=1+x++一+∵= 23! 0 zk + =1+x+x2+x3+…= X 0 LxI

8 在实变函数中, 一些函数可以按泰勒级数展开, 例如 2 3 0 2 3 0 1 2 3! ! | | 1 1 1 | | 1 n x n n n x x x e x n z x x x x x x  =  = = + + + + =  + = + + + + = −   

在复变函数中结果也一样: e=1+z+++… 23! 2=0n! z<+ =1+z+z2+z3+…= n=0 z|<1

9 在复变函数中结果也一样: 2 3 0 2 3 0 1 2 3! ! | | 1 1 1 | | 1 n z n n n z z z e z n z z z z z z z  =  = = + + + + =  + = + + + + = −   

复变函数还可以展开为洛朗级数,如 2 1+z++ ●鲁 23! ∑ 0 1 01

10 复变函数还可以展开为洛朗级数, 如 2 3 3 3 3 0 2 2 3 1 1 , 2 3! ! 0 | | 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , | | 1 z n n e z z z z z z n z z z z z z z z z z z  − =   = + + + + =       + −   = = − + + +   −   − = − − − −  

实变函数中的定积分经常用牛莱公式计算的, 例如 dx 在复变函数中同样也有 z dz=-z 但积分的含义不同,上式代表从复平面的0点 以任意路径积分到点i

11 实变函数中的定积分经常用牛-莱公式计算的, 例如 1 1 2 3 0 0 1 1 d 3 3 x x x = =  在复变函数中同样也有 3 2 3 0 0 1 1 d 3 3 3 i i i z z z i = = = −  但积分的含义不同, 上式代表从复平面的0点 以任意路径积分到点i