深圳大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）工程数学第6讲 洛朗级数

§4洛朗级数

2 §4 洛朗级数

个以z为中心的圆域内解析的函数f(z),可以 在该圆域内展开成z-z0的幂级数如果(z)在z0 处不解析,则在z的邻域内就不能用z-z0的幂 级数来表示.但是这种情况在实际问题中却 常遇到.因此,在本节中将讨论在以z0为中心 的圆环域内的解析函数的级数表示法

3 一个以z0为中心的圆域内解析的函数f(z), 可以 在该圆域内展开成z-z0的幂级数. 如果f(z)在z0 处不解析, 则在z0的邻域内就不能用z-z0的幂 级数来表示. 但是这种情况在实际问题中却经 常遇到. 因此, 在本节中将讨论在以z0为中心 的圆环域内的解析函数的级数表示法

讨论下列形式的级数 ∑ Cn(z-Zo) 0 +C(Z ∷+C1(z +Co +C(+.+ 可将其分为两部分考虑 (44.1) ∑c1(=-=0)2=co+c(-=)+…+cn( 0 (正幂项部分)442) 0 0 (负幂项部分44.3)

4 讨论下列形式的级数: (4.4.1) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) 0 1 0 0 1 0 0 1 0     + + - + + - + - = + - + + - - - - -  =-  n n n n n n n c c z z c z z c z z c z z c z z ( )(4.4.3) ( ) ( ) ( ) . ( )(4.4.2) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 负幂项部分 正幂项部分     - = - + + - + - = + - + + - + - - - -  = - -  =   n n n n n n n n n n c z z c z z c z z c z z c c z z c z z 可将其分为两部分考虑

只有在正幂项和负幂项都收剑才认为(44.1) 式收敛于它们的和 正幂项是一幂级数,设它的收敛半径为R2,对 负幂项,如果令2(z-z0)1,就得到 ∑cn(z-2)"=∑ C14+C (4.4.4 这是的幂级数,设收敛半径为R,令R1=1/R,则 当z-zR时,R,(44.4)收敛即(44.3收敛, 因此,只有在R1<z-z0<R2的圆环域,级数(44.1) 才收敛

5 只有在正幂项和负幂项都收剑才认为(4.4.1) 式收敛于它们的和. 正幂项是一幂级数, 设它的收敛半径为R2 , 对 负幂项, 如果令z=(z-z0 ) -1 , 就得到 这是z的幂级数, 设收敛半径为R, 令R1=1/R, 则 当|z-z0 |>R1时, z<R, (4.4.4)收敛即(4.4.3)收敛, 因此, 只有在R1<|z-z0 |<R2的圆环域, 级数(4.4.1) 才收敛. ( ) ,(4.4.4) 2 1 2 1 1 - 0 = = - + - +  = -  = - c￾z z c z c z c z n n n n n n

R 0.R

6 z0 R1 R2

例如级数 ∑2+∑ (a与b为复常数) n=0 b 中的负幂项级数∑=∑2当2< 即|za时收敛,而正幂项级数∑乙则当 z|b时收敛所以当|ab时原级数在 圆环域|akz<b收敛当|ab时原级数 处处发散

7 例如级数 . | | | | . | | | | | | | | . | | | | | | | | , 1, ( ) 0 1 1 1 0 处处发散 圆环域 收敛 当 时原级数 时收敛 所以当 时原级数在 即 时收敛 而正幂项级数 则当 中的负幂项级数 当 与 为复常数 a z b a b z b a b b z z a z a z a z a a b b z z a n n n n n n n n n n n n n n              = +       =  =  =  =  =

幂级数在收敛圆内的许多性质,级数(441)在 收敛圆环域内也具有.例如,可以证明,级数 (44.1)在收敛域内其和函数是解析的,而且可 以逐项求积和逐项求导 现在反问,在圆环域内解析的函数是否一定能 够展开成级数?先看下例

8 幂级数在收敛圆内的许多性质, 级数(4.4.1)在 收敛圆环域内也具有. 例如, 可以证明, 级数 (4.4.1)在收敛域内其和函数是解析的, 而且可 以逐项求积和逐项求导. 现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能 够展开成级数?先看下例

函数f(z) 在z=0及z=1都不解析,但 (1-z) 在圆环域0<zk<1及0<z-1k内都是解析的 先研究0≮zk<啪的情形, f(z)= (1-z) X1-2 =-+1+z+z2+…+z+ 由此可见,f(z)在04zk是可以展开为级 数的

9 . , ( ) 0 | | 1 1 . 1 1 1 1 (1 ) 1 ( ) 0 | | 1 , 0 | | 1 0 | 1| 1 . 0 1 , (1 ) 1 ( ) 2 数的 由此可见 在 内是可以展开为级 先研究 的情形 在圆环域 及 内都是解析的 函数 在 及 都不解析 但   = + + + + + + - = + - =      -  = = - = f z z z z z z z z z z f z z z z z z z z f z  n 

其次,在圆环域:0<z-11内也可以展开为级数: f(z) (1-z)1-z1-(1-z) 1+(1-z)+(1-z)2+…+(1-z)+…] =(1-z)+1+(1-z)+(1-z) +(1-2)+

10 其次,在圆环域:0<|z-1|<1内也可以展开为级数:      + - + = - + + - + - + + - + - + + - + - =       - - - = - = - - 1 1 2 2 (1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) [1 (1 ) (1 ) (1 ) ] 1 1 1 (1 ) 1 1 1 (1 ) 1 ( ) n n z z z z z z z z z z z z f z

O X

11 O 1 x y