深圳大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第九章 方差分析及回归分析 §1 单因素试验的方差分析 §2 双因素试验的方差分析

第九章方差分析及回归分析 §1单因素试验的方差分析

2 第九章 方差分析及回归分析 §1 单因素试验的方差分析

)单因素试验在科学试验和生产实践中, 影响一事物的因素往往是很多的例如,在化 工生产中,有原料成份,原料剂量,催化剂,反 应温度,压力,溶液浓度,反应时间,机器设备 及操作人员的水平等因素每一因素的改变都 有可能影响产品的数量和质量.有些因素影响 较大,有些较小.为了使生产过程得以稳定,保 证优质,高产,就有必要找到对产品质量有显 著影响的那些因素为此,我们需进行试验,方 差分析就是根据试验结果进行分析,鉴别各个 有关因素的作用的有效方法

3 (一)单因素试验 在科学试验和生产实践中, 影响一事物的因素往往是很多的.例如, 在化 工生产中,有原料成份, 原料剂量, 催化剂, 反 应温度, 压力, 溶液浓度, 反应时间, 机器设备 及操作人员的水平等因素. 每一因素的改变都 有可能影响产品的数量和质量. 有些因素影响 较大, 有些较小. 为了使生产过程得以稳定, 保 证优质, 高产, 就有必要找到对产品质量有显 著影响的那些因素. 为此, 我们需进行试验, 方 差分析就是根据试验结果进行分析, 鉴别各个 有关因素的作用的有效方法

在试验中,将要考察的指标称为试验指标影 响试验指标的条件称为因素.因素可分为两类 类是人们可以控制的(可控因素);一类是人 们不能控制的例如,反应温度,原料剂量,溶 液浓度等是可以控制的,而测量误差,气象条 件等一般是难以控制的.以下所说的因素都是 可控因素因素所处的状态,称为该因素的水 平.如果一项试验中只有一个因素在改变称为 单因素试验如果多于一个因素在改变称为多 因素试验

4 在试验中, 将要考察的指标称为试验指标. 影 响试验指标的条件称为因素. 因素可分为两类, 一类是人们可以控制的(可控因素); 一类是人 们不能控制的. 例如, 反应温度, 原料剂量, 溶 液浓度等是可以控制的, 而测量误差, 气象条 件等一般是难以控制的. 以下所说的因素都是 可控因素. 因素所处的状态, 称为该因素的水 平. 如果一项试验中只有一个因素在改变称为 单因素试验, 如果多于一个因素在改变称为多 因素试验

例1设有三台机器,生产规格相同的铝合金薄 板取样,测量薄板的厚度得结果如下表所示 表91铝合金板的厚度 机器I 机器I 机器Il 0.236 0.257 0.258 0.238 0.253 0.264 0.248 0.255 0.259 0.245 0.254 0.267 0.243 0.261 0.262

5 例1 设有三台机器, 生产规格相同的铝合金薄 板. 取样,测量薄板的厚度得结果如下表所示: 表9.1 铝合金板的厚度 机器I 机器II 机器III 0.236 0.257 0.258 0.238 0.253 0.264 0.248 0.255 0.259 0.245 0.254 0.267 0.243 0.261 0.262

这里,试验的指标是薄板的厚度.机器为因素, 不同的三台机器就是这个因素的三个不同的 水平假定除机器这一因素外,材料的规格,操 作人员的水平等其它条件都相同.这是单因素 试验试验的目的是为了考察各台机器所生产 的薄板的厚度有无显著的差异,即考察机器这 因素对厚度有无显著的影响.如果厚度有显 著差异,就表明机器这一因素对厚度的影响是 显著的

6 这里, 试验的指标是薄板的厚度. 机器为因素, 不同的三台机器就是这个因素的三个不同的 水平. 假定除机器这一因素外, 材料的规格, 操 作人员的水平等其它条件都相同. 这是单因素 试验. 试验的目的是为了考察各台机器所生产 的薄板的厚度有无显著的差异, 即考察机器这 一因素对厚度有无显著的影响. 如果厚度有显 著差异, 就表明机器这一因素对厚度的影响是 显著的

例2下面给出了随机选取的,用于计算器的四 种类型的电路的响应时间(以毫秒计) 表92电路的响应时间 类型I类型∏类型I类型Ⅳ 1915 2040 1617 18 22 21 15 22 20 33 18 19 18 27 26 这里试验的指标是电路的响应时间.电路类型 为因素这一因素有四个水平,试验的目的是 要考察各类型电路对响应时间的影响

7 例2 下面给出了随机选取的, 用于计算器的四 种类型的电路的响应时间(以毫秒计). 表9.2 电路的响应时间 类型I 类型II 类型III 类型IV 19 15 22 20 18 20 40 21 33 27 16 17 15 18 26 18 22 19 这里试验的指标是电路的响应时间. 电路类型 为因素. 这一因素有四个水平, 试验的目的是 要考察各类型电路对响应时间的影响

例3一火箭使用四种燃料,三种推进器作射程 试验.每种燃料与每种推进器的组合各发射火 箭两次,得射程如下(以海里计): 表93火箭的射程 推进器(B) B B B 3 58.2 56.2 653 4 52.6 412 608 49.1 54.1 516 42.8 50.5 48.4 燃料(4) 60.1 70.9 39.2 3 58.3 73.2 40.7 75.8 58.2 48.7 715 51.0 414

8 例3 一火箭使用四种燃料, 三种推进器作射程 试验. 每种燃料与每种推进器的组合各发射火 箭两次, 得射程如下(以海里计): 表9.3 火箭的射程 推进器(B) B1 B2 B3 燃料(A) A1 58.2 52.6 56.2 41.2 65.3 60.8 A2 49.1 42.8 54.1 50.5 51.6 48.4 A3 60.1 58.3 70.9 73.2 39.2 40.7 A4 75.8 71.5 58.2 51.0 48.7 41.4

这里的试验指标是射程.推进器和燃料是因素 它们分别有3个,4个水平.这是一个双因素试 验试验的目的在于考察在各种因素的各个水 平下射程有无显著的差异,即考察推进器和燃 料这两个因素对射程是否有显著的影响

9 这里的试验指标是射程. 推进器和燃料是因素, 它们分别有3个, 4个水平. 这是一个双因素试 验. 试验的目的在于考察在各种因素的各个水 平下射程有无显著的差异, 即考察推进器和燃 料这两个因素对射程是否有显著的影响

本节限于讨论单因素试验就例1讨论.在例1 中,在因素的每一个水平下进行独立试验,其 结果是一个随机变量表中数据可看成来自三 个不同总体(每个水平对应一个总体)的样本 值将各个总体的均值依次记为p4,242按题 意需检验假设 H6:1=2= H1:4142,3不全相等 进而假设各总体均为正态变量,且各总体的方 差相等,但参数均未知这就是一个检验同方 差多个正态总体均值是否相等的问题

10 本节限于讨论单因素试验. 就例1讨论. 在例1 中, 在因素的每一个水平下进行独立试验, 其 结果是一个随机变量. 表中数据可看成来自三 个不同总体(每个水平对应一个总体)的样本 值. 将各个总体的均值依次记为m1 ,m2 ,m3 . 按题 意需检验假设 H0 :m1=m2=m3 , H1 :m1 ,m2 ,m3不全相等. 进而假设各总体均为正态变量, 且各总体的方 差相等, 但参数均未知. 这就是一个检验同方 差多个正态总体均值是否相等的问题

设因素A有s个水平41A2…,A,在水平 A=1,2,,s)下,进行n次独立试验,得到如下 表的结果 水平 12 S nss 样本总和|7nT 样木均值x,又 总体均值A12

11 设因素A有s个水平A1 ,A2 ,...,As , 在水平 Aj (j=1,2,...,s)下, 进行nj次独立试验, 得到如下 表的结果. s s s n n n s s s s X X X T T T X X X X X X X X X A A A s m m  m          1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 总体均值 样本均值 样本总和 水平 • • • • • •