深圳大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 随机变量及其分布 §4 连续型随机变量及其概率密度 §5 随机变量的函数的分布

例2一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶 上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面 积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着 点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数 解若x<0,则{Kx}是不可能事件,于是 F(x=PX<x =0 若0≤x≤2,由题意,P(0≤Kx}=kx2,k是某一常数, 为了确定k的值,取x=2,有P{0≤K2}=22.但已 知P{0≤K<2}=1,故得k=1/4,即 P{0≤X≤x}=

2 例2 一个靶子是半径为2米的圆盘, 设击中靶 上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面 积成正比, 并设射击都能中靶, 以X表示弹着 点与圆心的距离. 试求随机变量X的分布函数. 解 若x<0, 则{Xx}是不可能事件, 于是 F(x)=P{Xx}=0. 若0x2, 由题意, P{0Xx}=kx2 , k是某一常数, 为了确定k的值, 取x=2, 有P{0X2}=22k. 但已 知P{0X2}=1, 故得k=1/4, 即 . 4 {0 } 2 x P  X  x =

于是 F(x)=P{X≤x}=P{X<0}+P{0≤X≤x} 若x≥2,由题意{Kx}是必然事件,于是 F(x)=P{K≤x}=1 综上所述,即得x的分布函数为 0 x<0 F(x)={x2/4,0≤x<2, x≥2

3 于是         = 1, 2. / 4, 0 2, 0, 0, ( ) 2 x x x x F x 若x2, 由题意{Xx}是必然事件, 于是 F(x)=P{Xx}=1. 综上所述, 即得X的分布函数为 . 4 ( ) { } { 0} {0 } 2 x F x = P X  x = P X  + P  X  x =

它的图形是一条连续曲线如图所示 x<0 F(x)={x2/4,0≤x<2 x≥2 F() 1/2 O123

4 它的图形是一条连续曲线如图所示         = 1, 2. / 4, 0 2, 0, 0, ( ) 2 x x x x F x 1 2 3 x 1/2 1 O F(x)

另外,容易看到本例中的分布函数F(x)对于任 意x可以写成形式 F(x)= f(t)dt, 其中 f(t)=12 0<t<2. 0,其它 这就是说,F(x)是非负函数1)在区间(∞x)上 的积分,在这种情况下我们称X为连续型随机 变

5 另外, 容易看到本例中的分布函数F(x)对于任 意x可以写成形式 ( ) ( )d , − = x F x f t t       = 0, . , 0 2, ( ) 2 其它 t t f t 这就是说, F(x)是非负函数f(t)在区间(−,x)上 的积分, 在这种情况下我们称X为连续型随机 变量. 其中

对照x)和F(x) F(x) l/2 O 123 f(r) 1/2 O 123

6 对照f(x ) 和 F(x): 1 2 3 x 1/21O F(x )1 2 3 x 1/21O f(x )

§4连续型随机变量及其概率密度

7 §4 连续型随机变量及其概率密度

如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在非 负函数f(x),使对于任意实数x有 F(x)= f(t)dt (4.1) 则称X为连续型随机变量,其中函数x)称为X 的概率密度函数,简称概率密度 连续型随机变量的分布函数是连续函数 在实际应用中遇到的基本上是离散型或连续 型随机变量.本课程只讨论这两种随机变量

8 如果对于随机变量X的分布函数F(x), 存在非 负函数f(x), 使对于任意实数x有 ( ) ( )d (4.1) − = x F x f t t 则称X为连续型随机变量, 其中函数f(x)称为X 的概率密度函数, 简称概率密度. 连续型随机变量的分布函数是连续函数. 在实际应用中遇到的基本上是离散型或连续 型随机变量. 本课程只讨论这两种随机变量

由定义知道,概率密度fx)具有以下性质: 1,f(x)≥0 ,f(x)dx=1. 3,对于任意实数x1,x2(x1≤x2) P(<X<x2)=F(x2)-F(x)=f()dx 4,若f(x)在点x连续,则有F(x)=f(x)

9 由定义知道, 概率密度f(x)具有以下性质: 4, ( ) , ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( )d . 3, , ,( ), 2, ( )d 1. 1, ( ) 0. 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 f x x F x f x P x X x F x F x f x x x x x x f x x f x x x  =   = − =  =     − 若 在点 连续 则有 对于任意实数

由性质2知道介于曲线=f(x)与O轴之间的面 积等于1.由性质3知道X落在区间(x1x2的概率 P{x1<x2}等于区间(x1x2]上的曲线=fx)之 下的曲边梯形面积 f(r) f(x) O x1 x2 x

10 由性质2知道介于曲线y=f(x)与Ox轴之间的面 积等于1. 由性质3知道X落在区间(x1 ,x2 ]的概率 P{x1<Xx2}等于区间(x1 ,x2 ]上的曲线y=f(x)之 下的曲边梯形面积. O x f(x) 1 O x f(x) x1 x2 1

由性质4在(x)的连续点x处有 f(x)=nF(x+△x)-F(x) △x→>0+ △x =hP(x0 看出概率密度的定义与物理学中的线密度的 定义相类似,这就是为什么称(x)为概率密度 的原因.由(42)式知道,若不计高阶无穷小,有 P(x<X≤x+△x)≈/f(x)△x (4.3)

11 由性质4在f(x)的连续点x处有 . (4.2) Δ ( Δ ) lim Δ ( Δ ) ( ) ( ) lim Δ 0 Δ 0 x P x X x x x F x x F x f x x x   + = + − = + + → → 看出概率密度的定义与物理学中的线密度的 定义相类似, 这就是为什么称f(x)为概率密度 的原因. 由(4.2)式知道, 若不计高阶无穷小, 有 P(x < X  x+Dx)f(x)Dx. (4.3)