深圳大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）工程数学第4讲 基本定理的推广

柯西-古萨基本定理如果函数(z)在单连通域 B内处处解析,则它在B内任何一条封闭曲线C 的积分为零: 「f(z)dz=0 (3.22) B

2 柯西-古萨基本定理 如果函数f(z)在单连通域 B内处处解析, 则它在B内任何一条封闭曲线C 的积分为零: ( )d = 0. (3.2.2)  C f z z C B

定理中的曲线C可以不是简单曲线 此定理成立的条件之一是曲线C要属于区域B 如果曲线C是B的边界,函数z)在B内与C上解 析,即在闭区域B+C上解析,甚至z)在B内解 析,在闭区域B+C上连续,则fz)在边界上的积 分仍然有 f(z)dz=o

3 定理中的曲线C可以不是简单曲线. 此定理成立的条件之一是曲线C要属于区域B. 如果曲线C是B的边界, 函数f(z)在B内与C上解 析, 即在闭区域B+C上解析, 甚至f(z)在B内解 析, 在闭区域B+C上连续, 则f(z)在边界上的积 分仍然有 ( )d = 0  C f z z

§3基本定理的推广 复合闭路定理

4 §3 基本定理的推广 复合闭路定理

可将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情 况.设函数(2)在多连通域D内解析,C为D内的 任意一条简单闭曲线,当C的内部不完全含于 D时,沿C的积分就不一定为零 假设C及C1为D内任意两条正向为逆时针方 向)简单闭曲线,C1在C内部,而且以C及C1为 边界的区域D全含于D.作两条不相交的弧线 AA及BB,其中A,B在C上,AB在C1上这样构成 两条全在D内的简单闭曲线 AEBBEA'AE及 AAFBBFA

5 可将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情 况. 设函数f(z)在多连通域D内解析, C为D内的 任意一条简单闭曲线, 当C的内部不完全含于 D时, 沿C的积分就不一定为零. 假设C及C1为D内任意两条(正向为逆时针方 向)简单闭曲线, C1在C内部, 而且以C及C1为 边界的区域D1全含于D. 作两条不相交的弧线 AA'及BB',其中A,B在C上, A'B'在C1上这样构成 两条全在D内的简单闭曲线AEBB‘E’A‘AE及 AA’F‘B’BFA

D F/DI B B E′ E 于f(z)dz=0 f(z)dz=o AEBBEA A AaF B BFA

6 D C C 1 A A' B' B D 1 F E E' F' ( ) d 0 ( ) d 0 ' ' ' ' ' ' = =   AEBB E A A A A F B BFA f z z f z z

将上面两等式相加,得 f(z)dz+4f(z)dz+f(z)dz AA +中f(z)dz+中f(z)dz+中f(z)dz=0 A'A BB BB 即∮f(2dz+5f(2)dz=0(31) 或中f(z)dz=f(z)dz (3.3.2)

7 将上面两等式相加, 得 ( )d ( )d (3.3.2) ( )d ( )d 0 (3.3.1) ( )d ( )d ( )d 0 ( )d ( )d ( )d 1 1 1 ' ' ' '           = + = + + + = + + − − C C C C A A B B B B C C A A f z z f z z f z z f z z f z z f z z f z z f z z f z z f z z 或 即

33.1)说明,如果将C及C1看成一条复合闭路 F,其正向为:沿C逆时针,沿C1顺时针,则 f(zdz=0 (3.3.2)说明,在区域内的一个解析函数沿闭曲 线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而 改变它的值,只要在变形过程中不经过函数 不解析的点.这一重要事实,称为 闭路变形原理

8 (3.3.1)说明, 如果将C及C1 −看成一条复合闭路 G, 其正向为:沿C逆时针, 沿C1 −顺时针, 则 ( )d = 0  G f z z (3.3.2)说明, 在区域内的一个解析函数沿闭曲 线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而 改变它的值, 只要在变形过程中不经过函数f(z) 不解析的点. 这一重要事实, 称为 闭路变形原理

变形过程中不能够经过(z)不解析的点

9 D 变形过程中不能够经过f(z)不解析的点

定理(复合闭路定理)设C为多连通域D内的 条简单闭曲线,C1C2,…,Cn是在C内部的简单 闭曲线,它们互不包含也互不相交,并且以C C1,C2,…,Cn为边界的区域全含于D.如果f(z) 在D内解析,则 /()dz=∑∮f(2d2C与C均取正方向 k= c i f(z)dz=0 为由C及Ck=1,2,,n)所组成的复合闭路(C按顺时 针,C按逆时针

10 定理(复合闭路定理) 设C为多连通域D内的一 条简单闭曲线, C1 ,C2 ,...,Cn是在C内部的简单 闭曲线, 它们互不包含也互不相交, 并且以C, C1 , C2 , ..., Cn为边界的区域全含于D. 如果f(z) 在D内解析, 则 ii) ( )d 0 i) ( )d ( )d , ; 1 = =     = G f z z f z z f z z C Ck n C k Ck 与 均取正方向 G为由C及Ck (k=1,2,...,n)所组成的复合闭路(C按顺时 针, Ck按逆时针

11 D CC1 C2C3