深圳大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 多维随机变量及其分布 §1 二维随机变量 §2 边缘分布 §3 条件分布

第三章多维随机变量及其分布 §1二维随机变量

2 第三章 多维随机变量及其分布 §1 二维随机变量

在实际问题中,对于某些随机试验的结果需要 同时用两个或两个以上的随机变量来描.例 如,为了研究某一地区学龄前儿童的发育情况, 对这一地区的儿童进行抽查,对于每个儿童都 能观察到他的身高H和体重W.在这里,样本 间S={e}={某地区的全部学龄前儿童,而H(e) 和W(e)是定义在S上的两个随机变量.又如炮 弹弹着点的位置需要由它的横坐标和纵坐标 来确定,而横坐标和纵坐标是定义在同一个样 本空间的两个随机变量

3 在实际问题中, 对于某些随机试验的结果需要 同时用两个或两个以上的随机变量来描. 例 如, 为了研究某一地区学龄前儿童的发育情况, 对这一地区的儿童进行抽查, 对于每个儿童都 能观察到他的身高H和体重W. 在这里, 样本空 间S={e}={某地区的全部学龄前儿童, 而H(e), 和W(e)是定义在S上的两个随机变量. 又如炮 弹弹着点的位置需要由它的横坐标和纵坐标 来确定, 而横坐标和纵坐标是定义在同一个样 本空间的两个随机变量

般,设E是一个随机试验,它的样本空间是 S-{e},设X(e)和YY(e)是定义在S上的随机 变量,由它们构成的一个向量(X,Y,叫做二维 随机向量或二维随机变量 -X( Ye

4 一般, 设E是一个随机试验, 它的样本空间是 S={e}, 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机 变量, 由它们构成的一个向量(X,Y), 叫做二维 随机向量或二维随机变量. S e X(e) Y(e)

定义设(X,Y是二维随机变量,对于任意实数 x,y,二元函数: 记成 F(x,y)=P(X≤x)∩(Ysy)}=P{X≤x,yY≤y 称为二维随机变量(X,Y的分布函数,或称为随 机变量X和Y的联合分布函数 X

5 定义 设(X,Y)是二维随机变量, 对于任意实数 x,y, 二元函数: F(x, y) = P{(X  x)(Y  y)} = P{X  x,Y  y} 记成 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数, 或称为随 机变量X和Y的联合分布函数. (x,y) x y O

易知,随机点(X,Y落在矩形域 x1<Kx2,y1<Y≤y2]的概率为 P{x1<Xx2,y1<y2} F(x2y2)F(x21)+F(x1y1)-F(x1y2).(1.1) y

6 易知, 随机点(X,Y)落在矩形域 [x1<Xx2 , y1<Yy2 ]的概率为 P{x1<Xx2 , y1<Yy2} =F(x2 ,y2 )-F(x2 ,y1 )+F(x1 ,y1 )-F(x1 ,y2 ). (1.1) x y y1 y2 x1 x2

分布函数F(x,y)具有的基本性质 1,F(x,y)是变量x和y的不减函数,即对于任意 固定的y,当x2x1时F(x2y)≥F(x1);对于任意 固定的x,当y2>y1时F(x2)>F(xy1) 2,0≤F(x1y)≤1,且 对于任意固定的y,F(-∞,y)=0, 对于任意固定的x,F(x,-∞)=0 F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1 3,F(xy)关于x和关于y都右连续 4,任给(x11,(x22),x1x2,y1y2, F(x2y2)F(x2y1)+F(x11)-F(x1y2)≥0

7 分布函数F(x,y)具有的基本性质: 1, F(x,y)是变量x和y的不减函数, 即对于任意 固定的y, 当x2>x1时F(x2 ,y)F(x1 ,y); 对于任意 固定的x, 当y2>y1时F(x,y2 )F(x,y1 ). 2, 0F(x,y)1, 且 对于任意固定的y, F(-,y)=0, 对于任意固定的x, F(x,-)=0, F(-,-)=0, F(+, +)=1. 3, F(x,y)关于x和关于y都右连续. 4, 任给(x1 ,y1 ),(x2 ,y2 ), x1<x2 , y1<y2 , F(x2 ,y2 )-F(x2 ,y1 )+F(x1 ,y1 )-F(x1 ,y2 )0

如果二维随机变量(X,Y全部可能取到的不相 同的值是有限对或可列无限多对,则称(x,Y 是离散型的随机变量. 设二维离散型随机变量(x,Y)所有可能取的值 为(xy),i=12…,记PX=x,￥y}=Pp 1,2,则由概率的定义有 P 0 P

8 如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不相 同的值 是有限对或可列无限多对, 则称(X,Y) 是离散型的随机变量. 设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值 为(xi ,yj ), i,j=1,2,...,记P{X=xi , Y=yj}=pij, i,j=1,2,..., 则由概率的定义有 0, 1. 1 1   =  =  i j= pi j pi j

称PXx,F=y}=Pmi=1,2…为二维离散型随 机变量κ和Y的分布律,或随机变量X和Y的联 合分布佳 也可用表格表示X和Y的联合分布律: X X V1 pu P12 P P

9 称P{X=xi , Y=yj}=pij, i,j=1,2,...,为二维离散型随 机变量X和Y的分布律, 或随机变量X和Y的联 合分布律. 也可用表格表示X和Y的联合分布律: Y X x1 x2 ... xi ... y1 p11 p21 ... pi1 ... y2 p12 p22 ... pi2 ...  ... ... ... ... ... yj p1j p2j ... pij ... ... ... ... ... ...

例1设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能 地取一个值,另一个随机变量Y在1~X中等可 能地取一整数值.试求(X,Y的分布律 解由乘法公式容易求得(X,Y)的分布律,易知 X=i,￥}的取值情况是:÷=1,2,34,;取不大于 的正整数,且 P{X=i,Y=}=P{X=1三X=}=.1 i=1,2,3,4,j≤i

10 例1 设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能 地取一个值, 另一个随机变量Y在1~X中等可 能地取一整数值. 试求(X,Y)的分布律. 解 由乘法公式容易求得(X,Y)的分布律, 易知 {X=i,Y=j}的取值情况是: i=1,2,3,4, j取不大于i 的正整数, 且 1,2,3,4, . , 1 4 1 { , } { } { | } i j i i P X i Y j P X i P Y j X i =  = = = = = = = 

PX=i,Y=j=P(X=i Pr=jX=ij i=1,2,3,4,j≤i. 于是(X,Y的分布律为 Y Ⅹ 2 1/8 1/12 1/16 1/8 1/12 1/16 234 000 0 1/12 1/16 0 1/16

11 于是(X,Y)的分布律为 1,2,3,4, . , 1 4 1 { , } { } { | } i j i i P X i Y j P X i P Y j X i =  = = = = = = =  Y X 1 2 3 4 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16