北京交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第三章 多维随机变量及其分布（3.1）二维随机变量

§1二维随机变量 昴二维随机变量 联合分布函数 联合分布律 品联合概率密度 「备]返回主目录

§1 二 维 随 机 变 量  二维随机变量  联合分布函数  联合分布律  联合概率密度 返回主目录

§1二维随机变量 定义 设E是一个随机试验,它的样本空间是S={e} 设X=K(e)和y=Y(e)是定义在S上的随机变量 由它们构成的一个向量(X,Y),叫做二维随机 向量,或二维随机变量。 X( Y(e 「备]返回主目录

设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 S={e}， 设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量。 由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做二维随机 向量，或二维随机变量。 S e X(e) Y(e) §1 二 维 随 机 变 量 定义 返回主目录

§1二维随机变量 注意事项 (1)二维随机变量也称为二维随机向量; (2)我们应把二维随机变量 (x, y)=(Xe), Y(e)(eEs) 看作一个整体,因为X与Y之间是有联 系的; (3)在几何上,二维随机变量(X,Y)可看 作平面上的随机点 「备]返回主目录

注 意 事 项 ⑴二维随机变量也称为二维随机向量； ⑵我们应把二维随机变量 (X，Y) = (X(e)，Y(e)) ( eS ) 系的； 看作一个整体，因为X 与Y 之间是有联 ( ) 作平面上的随机点． ⑶ 在几何上，二维随机变量 X， Y 可看 §1 二 维 随 机 变 量 返回主目录

§1二维随机变量 二錐随机变量的例子 1.考察某地区成年男子的身体状况,令 X该地区成年男子的身高; Y:该地区成年男子的体重 则(X,Y)就是一个二维随机变量 2.对一目标进行射击,令: X:弹着点与目标的水平距离; Y:弹着点与目标的垂直距离; 则(X,1)就是一个二维随机变量 「备]返回主目录

二维随机变量的例子 ⒈考察某地区成年男子的身体状况，令 X：该地区成年男子的身高； 则(X，Y)就是一个二维随机变量． ⒉ 对一目标进行射击，令： Y：该地区成年男子的体重． X：弹着点与目标的水平距离； Y：弹着点与目标的垂直距离； 则(X，Y)就是一个二维随机变量． §1 二 维 随 机 变 量 返回主目录

§1二维随机变量 二錐随机变量的例子 3考察某地区的气候状况,令: X:该地区的温度; Y:该地区的湿度 则(X,Y)就是一个二维随机变量 4.考察某钢厂钢材的质量,令: X:钢材的含碳量; Y:钢材的含硫量; 则(X,Y)航是一个二维随机变量 「备]返回主目录

二维随机变量的例子 ⒊考察某地区的气候状况，令： X：该地区的温度； 则(X，Y)就是一个二维随机变量． ⒋ 考察某钢厂钢材的质量，令： Y：该地区的湿度． X：钢材的含碳量； Y：钢材的含硫量； 则(X，Y)就是一个二维随机变量． §1 二 维 随 机 变 量 返回主目录

§1二维随机变量 定义 设(X,y)是一个二维随机变量,则对于任意一对 实数(x,y), F(x,y)=P{X≤x,Y≤y 是(x,y)的函数.我们称此函数为二维随机 变量(X,Y)分布函数 「备]返回主目录

( ) 实数( ， )， 设 ， 是一个二维随机变量， 则对于任意一对 x y X Y ( ) 变量( ， )的分布函数. 是 ， 的函数．我们称此函数 为二维随机 X Y x y F(x， y)= PX  x，Y  y §1 二 维 随 机 变 量 定 义 返回主目录

§1二维随机变量 二元分布函数的几何意义 二元分布函数的几何 意义是:F(x,y) 表示平面上的随机 点(X,F)落在以 (x,y) (x,y)为右上顶 点的无穷矩形中的 (X,y) 概率 「备]返回主目录

二元分布函数的几何意义 ( ) ( ) ( ) 概率． 点的无穷矩形中的 ， 为右上顶 点 ， 落在以 表示平面上的随机 意义是： ， 二元分布函数的几何 x y X Y F x y y o (x, y) (X, Y ) §1 二 维 随 机 变 量 返回主目录

§1二维随机变量 一个重要的公式 X, <x < P{x<X≤x2,y<X≤y2} F(x2,y2)-F(x2,y) F(x,y2)+F(x1,y)(x,) x2,y (x1y1 (x2,y1)

一个重要的公式 设：x1  x2 ，y1  y2 ，则 Px1  X  x2 ， y1  X  y2  ( ) ( ) 2 2 2 1 = F x ， y −F x ， y ( ) ( ) 1 2 1 1 −F x ， y + F x ， y y o x x 1 x2 y1 y2 (X, Y ) (x2 , y2 ) (x2 , y1 ) (x1 , y2 ) (x1 , y1 ) §1 二 维 随 机 变 量

§1二维随机变量 分布函数具有以下的基本性质: )F(x,y)是变量x,y的不减函数,即 对于任意固定的y,当x《x时,F(x1y)≤F(x2,y) 对于任意固定的x,当时,F(x,y)≤F(x2,y) 2)0≤F(x,y)≤1,且 对于任意固定的Y,F(-∞,y)=0; 对于任意固定的X F(x2-∞)=0; F(-∞,-∞)=0;,F(+∞,+∞)=1 「备]返回主目录

分布函数具有以下的基本性质： F (x , y )是变量 x , y 的不减函数，即 对于任意固定的 y , 当 x1< x2时， 对于任意固定的 x , 当 y1< y2时， ( , ) ( , ); 1 2 F x y  F x y ( , ) ( , ); 1 2 F x y  F x y 对于任意固定的 Y , 对于任意固定的 X , 0  F(x, y) 1, F(−, y) = 0; F(x,−) = 0; F(−,−) = 0; F(+,+) =1. §1 二 维 随 机 变 量 2) 1) 且 返回主目录

§1二维随机变量 3)F(x,y)=F(x+0y),F(x,y)=F(x+0),即 F(x,y)关于x右连续,关于y也右连续 4)F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x,y1)-F(x1,y2)≥0 (x2,y2) V2 Y) (x1,y1)(x2,y)

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0. F x2 y2 − F x2 y1 + F x1 y1 − F x1 y2  3) F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0), 即 F (x , y )关于 x 右连续，关于 y 也右连续. y o x x 1 x2 y1 y2 (X, Y ) (x2 , y2 ) (x2 , y1 ) (x1 , y2 ) (x1 , y1 ) §1 二 维 随 机 变 量 4)