北京交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第二章 随机变量及其分布（2.5）随机变量的函数的分布

§5随机变量的函数的分布 离散型 连续型 定理及其应用 「备]返回主目录

§5 随机变量的函数的分布 • 离散型 • 连续型 • 定理及其应用 返回主目录

§5随机变量的函数的分布 随机变量的函数 设X是一随机变量,Y是X的函数,Y=g{x),则y 也是一个随机变量.当X取值x时,Y取值y=g(x) 本节的任务就是: 已知随机变量x的分布,并且已知Y=g(X), 要求随机变量Y的分布 「备]返回主目录

随机变量的函数 也是一个随机变量． 当X 取值x时，Y 取值y = g(x) §5 随机变量的函数的分布 本节的任务就是： ( ) 要求随机变量 的分布． 已知随机变量 的分布，并且已知 ， Y X Y = g X 设 X 是一随机变量，Y 是 X 的函数，Y = g (X ) ,则Y 返回主目录

§5随机变量的函数的分布 、离散型随机变量的函数 X置置雨喱曹·首也库 P{X=xn}=pn(n=1,2,…) 2 或 P p 軎尽赵 人X时丽幕:=8(X)面甲晋景霸源料亚 V1, y27 其中yn=g(xn)(mn=l,2,…) 「备]返回主目录

一、离散型随机变量的函数 设X 是离散型随机变量，其分布律为 PX = x = p ( n =1, 2,  ) n n X 1 x 2 x ， n x  P p1 p2 ， pn  或 ( ) 量，它的取值为 Y是X 的函数：Y = g X ，则Y也是离散型随机变 y1 ， y2 ，， yn ， 其中 y = g(x ) ( n =1， 2，) n n §5 随机变量的函数的分布 返回主目录

§5随机变量的函数的分布 第一种情形 如果 两两不相同,则由 PY=yn)=PX=x,(n 可知随机变量Y的分布律为 P{Y=yn}=pn(n=1,2,…) 或 P 2 「备]返回主目录

第 一 种 情 形 如果 y1 ， y2 ，， yn ， 两两不相同，则由 PY = y = PX = x  (n =1， 2，) n n 可知随机变量Y的分布律为 PY = y = p ( n =1, 2,  ) n n 或 Y 1 y 2 y ， n y  P p1 p2 ， pn  §5 随机变量的函数的分布 返回主目录

§5随机变量的函数的分布 第二种情形 如果y,y2 有相同的项, 则把这些相同的项合并(看作是一项),并把相 应的概率相加,即可得随机变量Y=g(x)的分布律 「备]返回主目录

第 二 种 情 形 如果 y1 ， y2 ，， yn ， 有相同的项， 应的概率相加，即可得 随机变量 ( )的分布律. 则把这些相同的项合并 （看作是一项），并把 相 Y = g X §5 随机变量的函数的分布 返回主目录

§5随机变量的函数的分布 例 设离散型随机变量X的分布律为 35 70 126 252 252 252 252 252 252 随机变量Y=2X-3,试求Y的分布律. 解 随机变量Y=2X-3的取值为 9,-5,-3,1,9,15, 「备]返回主目录

例 1 设离散型随机变量X的分布律为 X -3 -1 0 2 6 9 P 252 1 252 5 252 1 5 252 3 5 252 7 0 252 126 随机变量Y = 2X −3，试求Y的分布律． 解：随机变量Y = 2X −3的取值为 −9， −5， −3，1，9，15， §5 随机变量的函数的分布 返回主目录

§5随机变量的函数的分布 例1(续) 这些取值两两互不相同.由此得随机变量 Y=2X-3 的分布律为 15 15 70 126 252 252 252 252 252 252 「备]返回主目录

例 1（续） Y -9 -5 -3 1 9 15 P 252 1 252 5 252 1 5 252 3 5 252 7 0 252 126 Y = 2X −3 §5 随机变量的函数的分布 这些取值两两互不相同． 由此得随机变量 的分布律为 返回主目录

§5随机变量的函数的分布 例2 设随机变量X具有以下的分布律,试求 Y=(X-1)2 的分布律 X-1012 Pk0.20.30.10.4 解:Y有可能取的值为0,1,4 且Y=0对应于(X-1)2=0,解得X1 所以,P{F=0}=P{X=1}=0.1, 「备]返回主目录

设随机变量 X 具有以下的分布律，试求 Y = (X-1)2 的分布律. pk X -1 0 1 2 0.2 0.3 0.1 0.4 解: Y 有可能取的值为 0，1，4. 且 Y=0 对应于 ( X-1)2=0， 解得 X=1， 所以, P{Y=0}=P{X=1}=0.1, §5 随机变量的函数的分布 例 2 返回主目录

§5随机变量的函数的分布 例2(续) X-1012 F=(x-1)2 Pk0.20.30.10.4 同理, P{=1}=P{x=0}+P{X=2}=0.3+0.4=0.7, P{F=4}=P{X=-1}=0.2, 所以,Y=(X1)2的分布律为: Y014 Pk0.10.70.2 「备]返回主目录

同理, P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+ 0.4=0.7, P{Y=4}= P{X= -1}= 0.2, pk Y 0 1 4 0.1 0.7 0.2 所以，Y=(X-1)2 的分布律为： pk X -1 0 1 2 0.2 0.3 0.1 0.4 Y=(X-1)2 §5 随机变量的函数的分布 例 2（续） 返回主目录

§5随机变量的函数的分布 例3 设离散型随机变量X的分布律为 X12 ●● ●●● y=8(x)={1若X为数 1若X为偶数 试求随机变量Y的分布律 解: 「备]返回主目录

例 3 设离散型随机变量X的分布律为 X 1 2 … n … P 2 1 2 2 1 … n 2 1 … ( )   − = = 若 为偶数 若 为奇数 X X Y g X 1 1 试求随机变量Y的分布律． 解： §5 随机变量的函数的分布 返回主目录