北京交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第四章 随机变量的数字特征（4.2）方差

第四章随机变量的数字特征 §2方差 §2方差 在实际问题中常关心随机变量与均值的 偏离程度,可用FXEX|,但不方便;所以 通常用E(X-EX)2来度量随机变量X与其均 值EX的偏离程度 1、定义 设X是随机变量,若E(X-EX)2存在,称其 为随机变量X的方差,记作DX,Va(X),即: DX-Var(X=E(X-Ex)2。√DX称为标准差。 DX=B(X-EX2=∑(x-EX)2P,离散型。 DX=I(x-EX) f(x)dx 连续型。 「备]返回主目录

§2 方差 1、定义 在实际问题中常关心随机变量与均值的 偏离程度，可用 E|X-EX|，但不方便；所以 通常用 2 E(X − EX ) 来度量随机变量 X 与其均 值 EX 的偏离程度。 设 X 是随机变量，若 2 E(X − EX) 存在，称其 为随机变量 X 的方差，记作 DX，Var(X)，即： DX=Var(X)= 2 E(X − EX) 。 DX 称为标准差。 §2 方差   = = − = −  1 2 2 ( ) ( ) i i EX pi DX E X EX x ， 离散型。   − DX = (x − EX) f (x)dx 2 ， 连续型。 第四章 随机变量的数字特征 返回主目录

第四章随机变量的数字特征 注:方差描述了随机变量的取值与其2方差 均值的偏离程度 方差也可由下面公式求得: DX=EXEX 正邮 DX=E(K-EK =E(x3-(6Ex)X+(Ex)) EX-SEX) EX+EX) EX-SEX+EX EXS-EX) 「备]返回主目录

§2 方差 第四章 随机变量的数字特征 ( ) 2 2 DX = EX − EX 证明：( ) 2 DX = E X − EX ( ( ) ( ) ) 2 2 = E X − 2EX  X + EX ( ) ( ) 2 2 = EX − 2EX  EX + EX ( ) ( ) 2 2 2 = EX − 2 EX + EX ( ) 2 2 = EX − EX 方差也可由下面公式求得： 注：方差描述了随机变量的取值与其 均值的偏离程度。 返回主目录

第四章随机变量的数字特征 2方差 例13 由′S坐Y鲜里·1早平甲上圣甲 由平中新 K:S中新 8 9 10 0.3 0.2 0.5 PYP 10 0.2 0.4 0.4 r回邮一Y即韵里平太喜 「备]返回主目录

§2 方差 第四章 随机变量的数字特征 甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出： X：甲击中的环数； Y：乙击中的环数； 试问哪一个人的射击水平较高？ 例13 X 8 9 10 P 0.3 0.2 0.5 Y 8 9 10 P 0.2 0.4 0.4 返回主目录

第四章随机变量的数字特征 2方差 例13(续) 下喜姓Y甲太新 由的太过新 E=8×03+0×05+0×02=05() S新 E=8×03+0×0寸+10×0=05() 囝吓·Y士钢新下·由又性Y平太晋一怯 「备]返回主目录

§2 方差 第四章 随机变量的数字特征 解：比较两个人的平均环数． 甲的平均环数为 EX =80.3+90.2+100.5 = 9.2 (环) 乙的平均环数为 EY =80.2+90.4+100.4 = 9.2 (环) 的，但两个人射击环数的方差分别为 因此，从平均环数上看，甲乙两人的射击水平是一样 例13（续） 返回主目录

第四章随机变量的数字特征 2方差 例13(续) DK=(8-05)×03+(0-05)×05+(0-05)×02 = oe D=(8-05)×05+(-05)×0寸+(0-05)×0寸 0Q寸 甲士DN<DK 圣S鲜里平太「螺 「备]返回主目录

§2 方差 第四章 随机变量的数字特征 (8 9.2) 0.3 (9 9.2) 0.2 (10 9.2) 0.5 2 2 2 DX = −  + −  + −  = 0.76 (8 9.2) 0.2 (9 9.2) 0.4 (10 9.2) 0.4 2 2 2 DY = −  + −  + −  = 0.624 由于DY  DX， 这表明乙的射击水平比甲稳定． 例13（续） 返回主目录

第四章随机变量的数字特征 2、方差的性质DX=E(X-E)22方差 )DX≥0,若C是常数,则DC0 )D(CX)=C DX 3)D(ax +br)=aDX+ Dr+2abE(X-EX)(r-ey), a,b是常数。若X,Y独立, 则D(aX+b)=a2DX+bDY iE D(aX +br)=ElaX +bY-E(aX +6Y) Ela(x-EX)+b(r-Ey) Ela(X- Ex+e[b(r-er- +2ElablX-EXr-ey) a' DX+b Dr+2abE(X- EX(r-Er

2、方差的性质 1) DX0，若 C 是常数，则 DC=0 2) D CX C DX 2 ( ) = §2 方差 第四章 随机变量的数字特征 3) ( ) 2 ( )( ) 2 2 D a X + b Y = a DX + b DY + abE X − EX Y − EY ， a，b 是常数。若 X，Y 独立， 则D a X b Y a DX b DY 2 2 ( + ) = + 2 [ ( )( )] [ ( ) ] [ ( ) ] 2 2 2 2 E ab X EX Y EY E a X EX E b Y EY + − − = − + − 2 2 [ ( ) ( )] ( ) [ ( )] E a X EX b Y EY D aX bY E aX bY E aX bY = − + − 证： + = + − + 2 ( )( ) 2 2 = a DX + b DY + abE X − EX Y − EY 2 DX = E(X − EX)

第四章随机变量的数字特征 §2方差 若X,Y独立,则 E(X-EXOY-EY=E(X-EXE (Y-EY-0 故 D(ax+br)=a' DX +b Dr +2abE(X- EX(r-Ey) a DX+by 4)DX0 Pcl, CEX 注: 令,Y=(X-E)/DX则EY=0,DY=1。 称Y是随机变量ⅹ的标准化了的随机变量 「备]返回主目录

4) DX=0  P{X=c}=1，c=EX §2 方差 第四章 随机变量的数字特征 a DX b DY 2 2 = + 若X,Y独立，则 E(X-EX)(Y-EY)=E (X-EX)E (Y-EY)=0 故： ( ) 2 ( )( ) 2 2 D a X + b Y = a DX + b DY + abE X − EX Y − EY ， 注： 令， 则 EY=0,DY=1。 称Y是随机变量X的标准化了的随机变量。 Y = (X − EX )/ DX 返回主目录

第四章随机变量的数字特征 例14 2方差 设X,~U[O,1,且相互独立。求:E|X-Y,D|X-Y 解 fx(x)=10<x<1,fy(y)=10<y<1, f(x,y)=10<x<1,0<y<1 0 「备]返回主目录

§2 方差 第四章 随机变量的数字特征 例 14 设X,Y ~ U[0,1]，且相互独立。求： E | X −Y |, D | X −Y | 解： x y 0 1 1 ( , ) 1 0 1, 0 1. ( ) 1 0 1, ( ) 1 0 1, =     =   =   f x y x y f x x f y y X Y 返回主目录

第四章随机变量的数字特征 例14续 §2方差 EIX-YIx-ylf(x, y)dxdy x-y dxdy 00 y=x =dx(x-ydy+dy(y-xodx 00 2 dx(x-y)dy =2(x )ds 2 00 0 DIX-Y=EX-Y(EX-rD 先求 Elx-r12- lx-y f(x, yydxdy=[[1x-y2 dxd 「备]返回主目录

§2 方差 第四章 随机变量的数字特征 例 14续   = − 1 0 0 2 ( ) x dx x y dy  = − 1 0 2 2 ) 2 2 ( dx x x 3 1 = 2 2 D X −Y = E X −Y − (E X −Y ) 先求： − = 2 E X Y    − = − = −  −  − 1 0 1 0 E | X Y | | x y | f (x, y)dxdy | x y | dxdy     = − + − 1 0 1 0 0 0 ( ) ( ) x y d x x y d y d y y x d x x y 0 y = x 1 1 − =    −  − | x y | f (x, y)dxdy 2  − 1 0 1 0 2 | x y | dxdy 返回主目录

第四章随机变量的数字特征 例14(续) §2方差 =I(x-y)dxdy 2 (x--2xy+ y4)dxdy 00 00 DX-=EX-Y-EX-YD 63 18 思考题:若X~N(,2),y~N(A,a2),且它们独立, 求:E|X-Y,D|X-Y 「备]返回主目录

§2 方差 第四章 随机变量的数字特征 例 14（续） 6 1 ( 2 ) 1 0 1 0 2 2 = − + =  x xy y dxdy 2 2 D X −Y = E X −Y − (E X −Y ) 则： 18 1 ) 3 1 ( 6 1 2 = − = 思考题：若 X ~ N(, 2 ),Y ~ N(, 2 ),且它们独立， 求：E | X −Y |, D | X −Y |  = − 1 0 1 0 2 (x y) dxdy 返回主目录