同济大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第二单元 曲面积分

第二单元 曲面积分

第二单元 曲面积分

本单元的内容要点 本节要点 1第一类曲面积分的定义 2积分性质 o3第类曲面积分的方法; 4第二类曲面积分的定义; 5第二类曲面积分的计算方法 6两类曲面积分的联系

一、本单元的内容要点 本节要点: 1.第一类曲面积分的定义; 2.积分性质; 3.第一类曲面积分的方法; 4.第二类曲面积分的定义; 5.第二类曲面积分的计算方法; 6.两类曲面积分的联系

本单元的教学要求 掌握两类曲面积分的定义,性质和计算方法,尤其是 第二类曲面积分的计算方法

二、本单元的教学要求 掌握两类曲面积分的定义，性质和计算方法，尤其是 第二类曲面积分的计算方法

本单元教学的重点与难点 本单元的重点和难点是第二类曲面积分的计算,尤其 是掌握合片投影法

三、本单元教学的重点与难点 本单元的重点和难点是第二类曲面积分的计算，尤其 是掌握合片投影法

第一类曲面积分的定义 在上节中对于第一类曲线积分的引出中,把相关的问 题转变成空间的曲面问题,即为第一类曲面积分的问 题。即:设Σ为空间的一分片光滑的曲面块,密度函数为 cp(x,y,z),则曲面块的质量为 M=li p(5,7 抽去其中的具体意义,即得到第一类曲线积分的定义

第一类曲面积分的定义 在上节中对于第一类曲线积分的引出中，把相关的问 题转变成空间的曲面问题，即为第一类曲面积分的问 题。即：设 Σ为空间的一分片光滑的曲面块，密度函数为 ρ (x, y, z )，则曲面块的质量为 ( ) 0 1 li m , , n i i i i i M s λ ρ ξ η ζ → = = ∑ ∆ 抽去其中的具体意义，即得到第一类曲线积分的定义

4定义设Σ是一片光滑曲面,函数f(x,y,)在曲面上有 界,将Σ划分成有限多个小块△∑1,△∑2,…△∑n。记 第I个小块△∑的面积为△S;,又在△∑上任取一点 (ξ,n1,5),作和 ∑f(5,7,5)s 若各小块曲面的直径λ→>0时,和式的极限总存在,则 称此极限为函数f(x,y,z)在曲面∑上的曲面积分,记为 f(r, y, z)ds

定义 设Σ是一片光滑曲面，函数f (x, y, z)在曲面上有 界， 将Σ划分成有限多个小块△Σ1, △Σ2, …, △Σn。记 第I个小块△Σi的面积为△Si，又在△Σi上任取一点 (ξi, ηi, ζi)，作和 1 ( , , ) n i i i i i f s ξ η ζ = ∑ ∆ 若各小块曲面的直径λ→0时，和式的极限总存在，则 称此极限为函数f (x, y, z)在曲面Σ上的曲面积分，记为 f x( , y,z)ds Σ ∫∫

∫0(xy)d=m∑/(5,n1A 数量值函数的曲面积分又称为第一类曲面积分,或称 ⊙为对面积的曲面积分

即 0 1 ( , , ) lim ( , , ) . n i i i i i f x y z ds f s λ ξ η ζ → Σ = = ∑ ∆ ∫∫ 数量值函数的曲面积分又称为第一类曲面积分，或称 为对面积的曲面积分

积分性质 第一类曲面积分的积分性质与前面讨论的积分性质 完全平行。 性质1若函数f(x,y,z)在曲面∑上连续,则积分 f x,y, 2)as 存在

积分性质 第一类曲面积分的积分性质与前面讨论的积分性质 完全平行。 性质1 若函数 f (x, y, z)在曲面Σ上连续，则积分 f x( , y,z)ds Σ ∫∫ 存在

性质2若曲面∑为若干个光滑曲面∑的和,则 ∫0(xy,)4=∑』f(xy= 注若函数f(x,y,z)为曲面∑上的密度函数p(x,y,z),则 相应的积分为曲面的质量 M=llp(x,y, z)ds

性质2 若曲面Σ为若干个光滑曲面Σi的和，则 1 ( , , ) ( , , ) . i n i f x y z ds f x y z ds Σ Σ = ∫∫ = ∑∫∫ 注 若函数f (x, y, z)为曲面Σ上的密度函数ρ(x, y, z)，则 相应的积分为曲面的质量 M ρ( , x y,z)ds. Σ = ∫∫

第一类曲面积分的计算方法 计算公式 设光滑曲面Σ由方程z=(x,y)(x,y)∈D给出,D为 ∑在xy上的投影,函数f(x,y,z)在∑上连续,则 ∫x:xx小+=2+d(1)

第一类曲面积分的计算方法 计算公式 设光滑曲面 Σ由方程 给出， D 为 Σ 在xoy上的投影，函数 f (x, y, z ) 在 Σ上连续，则 z = ∈ z x( , y ),( x, y ) D, [ ] 2 2 ( , , ) , , ( , ) 1 . x y D f x y z ds f x y z x y z z d σ Σ = + ′ ′ + ∫∫ ∫∫ ( 1 )