同济大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第一单元 导数

第一单元导数

第一单元 导数

本单元的内容要点 1理解导数是增量比值的极限及导数的几何意义; 2掌握各类导数的求法 下

一、本单元的内容要点 1.理解导数是增量比值的极限及导数的几何意义； 2.掌握各类导数的求法．

本单元的教学要求 1掌握导数的基本概念:所谓导数是增量比值的极限; 2理解导数的几何意义是曲线切线的斜率; 3掌握对各类函数的求导方法 下

二、本单元的教学要求 1.掌握导数的基本概念：所谓导数是增量比值的极限； 2.理解导数的几何意义是曲线切线的斜率； 3.掌握对各类函数的求导方法．

本单元教学的重点与难点 重点: 1导数的定义,利用定义求函数在某一点的导数; 2各类函数的导数; o3.复合函数的求导法则 下

三、本单元教学的重点与难点 重点： 1.导数的定义，利用定义求函数在某一点的导数； 2.各类函数的导数； 3.复合函数的求导法则．

难点: 复合函数的求导;高阶导数 本单元教学时数:6课时 下

难点： 复合函数的求导；高阶导数． 本单元教学时数：6课时．

导数概念 引例1速度问题 在第一章中,我们看到,匀速直线运动中质点在某 时刻的速度为平均速度的极限.即若位移函数为 s()-s( 则质点在时刻时的瞬时速度为 下

一、导数概念 引例1 速度问题 在第一章中，我们看到，匀速直线运动中质点在某一 时刻的速度为平均速度的极限．即若位移函数为 0 0 s t( ) s t( ) t t − − 则质点在时刻 t0 时的瞬时速度为

s()-s( v(to)=lim t→>0t 下

0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) l i m . t t s t s t v t → t t − = −

引例2曲线的切线问题 设曲线C,方程v=∫(x),曲线上点M,在C上另取一点 N,作割线MN,当MN沿曲线C曲线趋向于点M时,如 果割线MN绕点M旋转而趋向 某一极限位置MT,则直线MT yfx 称为曲线C在点M处的切线 设M的坐标为(xy,y),N的坐 M 标为(x,y),则割线MN的斜率 下

引例2 曲线的切线问题 x y o M N T y=f(x) 设曲线C，方程y=f(x)，曲线上点M，在C上另取一点 N，作割线MN，当MN沿曲线C曲线趋向于点M时，如 果割线MN绕点M旋转而趋向 某一极限位置MT，则直线MT 称为曲线C在点M处的切线． 设M的坐标为(x9, y0)，N的坐 标为(x, y)，则割线MN的斜率

k,- f(x)-f(xo) 当x-x时,如果上式的极限存在,记其为k,即 k=lim(x)-/(xo x→)x X-X 即,k为曲线C在点M处的切线斜率 在上面的两个例中,我们看到两个不同的问题,最终 均归结为一个极限 lim f(x-f(xo) x→ 下

0 0 0 0 ( ) ( ) , MN y y f x f x k x x x x − − = = − − 当x→x0时，如果上式的极限存在，记其为k，即 0 0 0 ( ) ( ) lim , x x f x f x k → x x − = − 即，k为曲线C在点M处的切线斜率． 在上面的两个例中，我们看到两个不同的问题，最终 均归结为一个极限 0 0 0 ( ) ( ) lim , x x f x f x → x x − −

4若记4y=fx)-f(x),Ax=x-x0,则上式为函数的增量与 自变量的增量的比值的极限,即 lim Ay= lim /(x)-1(xo x少x0△Xx>x0x 下

若记Dy= f(x)−f(x0)， Dx=x−x0，则上式为函数的增量与 自变量的增量的比值的极限，即 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim . x x x x y f x f x → → x x x ∆ − = ∆ −