同济大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第一单元 数项级数

第一单元 数项级数

第一单元 数项级数

级数的基本概念 表达式 a+a2+…+an+ 称为一个无穷级数,记为∑a,即 n=1 q=a1+a2+…+an+ 例1 1+-+-+…+-+· n=I n

级数的基本概念 表达式 1 2 n a a + + + " " a + 称为一个无穷级数，记为 ，即 1 n n a ∞ = ∑ 1 2 1 . i n n a a a a = ∞ ∑ = + +" " + + 1 1 1 1 1 1 . n n n 2 3 ∞ = 例1 ∑ = + + +" " + +

4对级数∑q,得部分和数列 ∑ a2=1+a,+…+a 例2设级数∑n,则部分和数列为 n=」 n(n+ n=1+2+…+n 1) n 例3设级数∑q,则部分和数列为 n=1 ∑q"=q q

对级数 ，得部分和数列 1 n n a ∞ = ∑ 1 2 1 . n i n i s a a a a = n = ∑ = + + " + 例2 设级数 ，则部分和数列为 n 1 n ∞ = ∑ 1 ( 1 ) 1 2 . 2 n n i n n s n n = + = = ∑ + + " + = 例3 设级数 ，则部分和数列为 1 n n q ∞ = ∑ 1 1 . 1 n n n n i q s q q = q − = = − ∑

设级数∑q,部分和数列(s)m,若部分和数列收 敛,则称级数∑是收敛的,并把极限叫做级数的和, 即:若lims.=s,则记 n→)00 ∑qn=s 若数列(s)1的极限不存在,则成级数是发散的。 例4等比级数∑q收敛→l<1,且 q g -9 n=1 n→1-q1-q

设级数 ，部分和数列 ，若部分和数列收 敛，则称级数 是收敛的，并把极限叫做级数的和， 即：若 ，则记 1 n n a ∞ = ∑ ( ) n n 1 s ∞ = 1 n n a ∞ = ∑ li m n n s s →∞ = 1 . n n a s ∞ = ∑ = 若数列 ( ) s n n 1 的极限不存在，则成级数是发散的。 ∞ = 例4 等比级数 收敛 ⇔|q|<1，且 1 n n q ∞ = ∑ 1 1 li m . 1 1 n n n n q q q q q q ∞ → ∞ = − = = − − ∑

2n+1 例5证明级数∑ 是收敛的, =1n(n+ 证因 2i+1 ∑ 2(+1) n lims.=lim 1 n→)00 (n+1) 即 2n+1 n2(n+1)

例5 证明级数 是收敛的， ( ) 2 2 1 2 1 n 1 n n n ∞ = + + ∑ 证 因 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 n n i n i s i i i i n ∞ = = ⎛ ⎞ + = = ⎜ ⎟ − = − ⎜ ⎟ + + + ⎝ ⎠ ∑ ∑ ( ) 2 1 li m l i m 1 1 1 n n n s n →∞ →∞ ⎛ ⎞ ∴ = − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ( ) 2 2 1 2 1 1. n 1 n n n ∞ = + = + ∑ 即

例6证明级数∑ 是收敛的,并求和 n1n(n+1)(n+2) 解 nn+Xn+2)2(n+)(n+(m+2) (i+1i+2) 111 2(12232334n(n+1)(n+1)(n+2) 2(2(n+1)(n+2)4

例6 证明级数 是收敛的，并求和。 1 1 n n n( 1 ) ( n 2 ) ∞ = + + ∑ 解 ( ) ( ) 1 1 1 1 n n( 1 ) ( n 2) 2 n ( n 1 ) n 1 n 2 ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + + + + ⎝ ⎠ ∵ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( 1 ) ( 2 ) 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 3 2 3 3 4 1 1 2 1 1 1 1 . 2 2 1 2 4 n i i i i n n n n n n = + + ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ + − + + − ⎜ ⎟ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ ∴ ∑

n=ln(n+1)(n+2 )4

1 1 1 . n n n( 1 ) ( n 2 ) 4 ∞ = = + + ∴ ∑

例6证明调和级数 1+-+-+…+ 是发散的。 证该级数的前2m+1项的部分和为 2 4丿(5678 1 m+1 2m+12m+22mH2 →>(m-→)

例6 证明调和级数 1 1 1 1 1 1 n n n 2 3 ∞ = ∑ = + + +" " + + 是发散的。 证 该级数的前2m+1项的部分和为 ( ) 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 , 2 1 2 2 2 2 m m m m s m m + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟+⎜ + ⎟+⎜ + + + ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ + + +⎜ ⎟ + + > →∞ →∞ ⎝ ⎠ + +

所以级数 1+-+-+…+ 是发散的

所以级数 1 1 1 1 1 1 n n n 2 3 ∞ = ∑ = + + +" " + + 是发散的

无穷级数的基本性质 设级数∑an称级数∑a为原级数的余项级数,并 k=n+1 注意到,若原级数的部分和为s,余项级数的部分和为 sm(m>n),则有 m+n

无穷级数的基本性质 设级数 ，称级数 为原级数的余项级数，并 注意到，若原级数的部分和为 s n，余项级数的部分和为 s ´m(m>n)，则有 1 n n a ∞ = ∑ 1 k k n a ∞ = + ∑ . m m n n s s s + ′ = −