同济大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第一单元 微分中值定理

第一单元微分中值定理

第一单元 微分中值定理

本单元的内容要点 函数的驻点,费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定 理、柯西中值定理及应用 下

一、本单元的内容要点 函数的驻点，费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定 理、柯西中值定理及应用．

本单元的教学要求 1理解费马引理与罗尔定理; 2理解拉格朗日中值定理; 3.了解柯西中值定理 4会用中值定理证明简单的不等式与证明方程解的存在 性 下

二、本单元的教学要求 1.理解费马引理与罗尔定理； 2.理解拉格朗日中值定理； 3.了解柯西中值定理； 4.会用中值定理证明简单的不等式与证明方程解的存在 性．

三、本单元教学的重点与难点 1.重点:注意罗尔、拉格朗日、柯西中值定理的条件与 结论中的共同点与不同点,并且知道它们之间的关系: 罗尔定理是拉格朗日定理的特例;柯西定理是拉格朗日 定理的推广 下

三、本单元教学的重点与难点 1.重点：注意罗尔、拉格朗日、柯西中值定理的条件与 结论中的共同点与不同点，并且知道它们之间的关系： 罗尔定理是拉格朗日定理的特例；柯西定理是拉格朗日 定理的推广．

2难点 (1)注意罗尔、拉格朗日、柯西中值定理的中值点是开 区间(a,b)内的某一点,而非区间内的任意点或指定的 一点,换言之,这三个中值定理都仅“定性”地指出了 中值点-存在性,而非“定值”地指明磁的具体数值 (2)注意罗尔、拉格朗日、柯西中值定理的条件函数 “在a,b上连续”、“在(a,b)内可导”的重要性,两者缺 不可 下

2.难点： ⑴注意罗尔、拉格朗日、柯西中值定理的中值点ξ是开 区间(a, b)内的某一点，而非区间内的任意点或指定的 一点，换言之，这三个中值定理都仅“定性”地指出了 中值点ξ的存在性，而非“定值”地指明ξ的具体数值． ⑵注意罗尔、拉格朗日、柯西中值定理的条件——函数 “在[a, b]上连续”、“在(a, b)内可导”的重要性，两者缺 一不可．

(3)要结合这三个中值定理在本节中的应用以及各节中的 应用,反复体会这些定理在微积分学中的意义与应用 教学时数2课时 下

⑶要结合这三个中值定理在本节中的应用以及各节中的 应用，反复体会这些定理在微积分学中的意义与应用． 教学时数 2课时．

问题的引出 首先,让我们来观察这样一个几何事实:如图所示 连续曲线弧AB是函数y=Jf(x)(x∈[ab的图形,如果 f(a)=Jf(b),我们看到在曲线弧的最高点C或最低点 处 J 曲线有水平切线.若记C点的横 C 坐标为5,则有 Jo: B 0. 下

问题的引出 首先，让我们来观察这样一个几何事实：如图所示： f ′( ) ξ = 0. 连续曲线弧 AB是函数 y=f (x)(x∈[a, b])的图形，如果 f (a)=f (b)，我们看到在曲线弧的最高点C或最低点 处， 曲线有水平切线．若记C点的横 坐标为ξ，则有 x y o a b C ξ y=f(x) A B

进一步观察,当f(a)≠(b)时,又看到在曲线弧AB上, 至少有一点C,弧AB在该点处的切线CT平行与弦AB, 又切线CT的斜率是0)-/()如果仍以记C的横坐 b-a 标,则有 f(2 f(b-f(a) B fb)}… b-a 片和)T 由此启发我们考虑这样一个 C 理论上的问题:设f∈Ca,b,ao4 ∫∈D(a,b),是否存在e(nb),oa 下

进一步观察，当f (a)≠ f (b)时，又看到在曲线弧AB上， 至少有一点C，弧AB在该点处的切线CT平行与弦AB， 又切线CT的斜率是 如果仍以ξ记C的横坐 标，则有 ( ) ( ) , f b f a b a − − ( ) ( ) ( ) . f b f a f b a ξ − ′ = − x y o a b ξ B A y=f(x) C f(b) f(a) T 由此启发我们考虑这样一个 理论上的问题：设 f ∈C[a, b]， f ∈D(a, b)，是否存在ξ∈(a, b)

使等式 f(5)J(b)-f(a) 成立?下面我们从理论上对这个问题进行讨论.为讨论 方便,先引入费马引理,该引理本身在微分学中也很重 要 下

使等式 ( ) ( ) ( ) f b f a f b a ξ − ′ = − 成立？下面我们从理论上对这个问题进行讨论．为讨论 方便，先引入费马引理，该引理本身在微分学中也很重 要．

引理(费马引理)设函数f(x)在点x的某领域U(x)内有 定义并在x0处可导,若对任意的x∈U(xo),有 f(xo)sf(xo)(或∫(xo)≥f(xo) 则:f"(x0)=0 证:不妨设x∈U(xo)时,有 f(x)sf(xo),故当x+△∈U(x), 有 f(x+△x)-f(x0)≤0 U(o) 下

引理(费马引理) 设函数 f (x)在点x的某领域U(x0)内有 定义并在x0处可导，若对任意的x∈U(x0)，有 f (x0)≤f (x0) (或 f (x0) ≥ f (x0)) 则： 0 f x ′( ) = 0. 证：不妨设x∈U(x0)时， 有 f (x0)≤f (x0) ，故当x0+Dx∈U(x0)， 有 x y o 0 0 f x( ) + ∆x − f (x ) ≤ 0, x0 U(x0)