同济大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第三单元 平面与直线

第三单元平面与直线

第三单元 平面与直线

本单元的内容要点 要点: 1平面及方程 2.直线与方程 3直线与平面

一、本单元的内容要点 要点： 1.平面及方程 2.直线与方程 3.直线与平面

本单元的教学要求 1掌握平面方程的各种表现形式几意义; 2掌握平面方程的各种表现形式几意义 3掌握平面与直线的相互关系的判定:平行、垂直、相 交 4平面束方程

二、本单元的教学要求 1.掌握平面方程的各种表现形式几意义； 2.掌握平面方程的各种表现形式几意义； 3.掌握平面与直线的相互关系的判定：平行、垂直、相 交； 4.平面束方程

本单元教学的重点与难点 重点: 1平面方程的建立 2直线方程的建立及方程的相互转化; o3.直线与平面的位置关系的判定; 4平面束方程的意义及应用

三、本单元教学的重点与难点 重点： 1.平面方程的建立； 2.直线方程的建立及方程的相互转化； 3.直线与平面的位置关系的判定； 4.平面束方程的意义及应用

难点: 1平面各类方程的意义 2直线各类方程的意义及相互转化; 3直线与平面的相互关系的讨论方法 ⊙4平面束方程的应用 本单元教学时数:4课时

难点： 1.平面各类方程的意义； 2.直线各类方程的意义及相互转化； 3.直线与平面的相互关系的讨论方法； 4.平面束方程的应用 本单元教学时数：4课时

平面与方程 1平面的点法式方程 设平面兀、法向n=(A,B,C)为垂直于平面π的向 量,点M6xmpy2a在平面上,则该平面的方程为: A(x-x0)+B(y-y)+C(-20)=0(1) 事实上,动点M(x,y,在平面π上兮 MM⊥n

一、平面与方程 1.平面的点法式方程 设平面 π、法向 为垂直于平面 π的向 量，点 M0 (x 0, y 0, z 0 )在平面上，则该平面的方程为： n = ( A, , B C ) G 0 0 0 A x( ) − + x B ( y − y ) + C ( z − z ) = 0 ( 1 ) M 0 M n G 事实上，动点 M(x, y, z )在平面 π 上 ⇔ 0 M M n ⊥ . JJJJJJG G

4而MM⊥五MM.n=0,又, MMn=A(x-x)+B(y-y0)+C(z-20)=0 故得平面π的方程为: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-20)=0

而 M M0 0 ⊥ n ⇔ ⋅ M M n = 0，又， JJJJJJG JJJJJJG G G 0 0 0 0 M M ⋅ n = − A( ) x x + B(y − y ) + C(z − z ) = 0. JJJJJJG G 故得平面π的方程为： 0 0 0 A x( ) − x + − B( y y ) + C(z − z ) = 0

例1求过点A(1,1,2),B(2,-1,1),C(3,2,5)的平面方程。 解取平面的法向州A4BxAC, ABaC=1-2-1=6+k-2j+4-3+i 35 =(1,1,-1),所以相应的平面方程为 x-1+y-1-(z-1)=0

例1 求过点A(1, 1, 2),B(2, -1, 1),C(3, 2, 5)的平面方程。 解 取平面的法向 n AB A× C ， JJG JJJG G & 1 2 1 6 2 4 3 2 1 3 ( 5, 5,5) AB AC i j k × = − − =− i k + − j+ k − j+i = − − G G G JJG JJJG ∵ ∴ n = − (1,1, 1) G ，所以相应的平面方程为 x y − 1 1 + − − (z − 1) = 0

由此得到,过三点A4(a1b1,c1),B(a2,b2,c2),C(a3,b3,c3) 的平面方程为 xbc y五c aaa b-a=0 G 此式又称为平面的三点式方程

由此得到，过三点A(a1, b1, c1), B(a2, b2, c2), C(a3, b3, c3) 的平面方程为 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 0. x a y a z a b a b a b a c a c a c a − − − − − − = − − − 此式又称为平面的三点式方程

2平面的一般方程 在平面方程(1)中,将常数合并,得到方程 Ax+ By+Cz+D=0 其中,n=(A,B,C)为平面的法向。关系(2)即称为平面 的一般方程

2.平面的一般方程 在平面方程(1)中，将常数合并，得到方程 Ax + By + + Cz D = 0. ( 2 ) 其中， 为平面的法向。关系(2)即称为平面 的一般方程。 n A = ( , B,C ) G