清华大学：《应用随机过程》课程教学资源（讲义）第七讲 随机微分方程简介

笨大学 Tsinghua University 第七讲 2005-1-20 应用随机过程讲义第七讲

2005-1-20 应用随机过程讲义 第七讲 1 第七讲

笨大学 Tsinghua University 作业题 2,3(1)(4),7(1)(4)(5),8(1)(2),16 2005-1-20 应用随机过程讲义第七讲

2005-1-20 应用随机过程讲义 第七讲 2 • 作业题 2，3(1)(4)， 7(1)(4)(5)，8(1)(2)，16

草大 Tsinghua University 随机微分方程简介 H空间和均方收敛 设(XY)为实随机变量,称z=X+iY为复随机变量 其中i=√-1.zP≌zz=(x+Y)(x+Y)=x2+Y2 对于复r.v.Z,有 Ez三EX+iEY E|z|2≌E(Z2 2005-1-20 应用随机过程讲义第七讲

2005-1-20 应用随机过程讲义 第七讲 3 随机微分方程简介

笨大学 Tsinghua University 定义H={x:Ex2<x},即丑是由二阶矩存在的 随机变量全体构成的集合称作玨空间 2005-1-20 应用随机过程讲义第七讲

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笨大学 Tsinghua University H空间是线性空间,即:x1,X2∈H,及常数a;∈R(i=1,2) 都有a1X1+02X2∈H成立 x,Y∈H,定义(XY)=E(XY).由定义,易知(X,Y)满足以下性质 1°(Y,X)=(X,Y)(即(xY)共轭反对称) 2°(cx,Y)=cXY)其中c为常数 3°(X1+X2y)=(X1y)+(X2,Y)其中x;∈,(i=1.,2) 4°(X,X)=Ex2≥0.且(X,X)=0分X=0(ae.) 我们称(X,Y)为H空间中xY的内积 2005-1-20 应用随机过程讲义第七讲

2005-1-20 应用随机过程讲义 第七讲 5

笨大学 Tsinghua University 若(XY)=0(因为EX=EY=0,所以Co(xY)=0,即XY不相关) 称X与Y正交,记作x⊥Y 这样,对两个r.XY不相关兮X⊥Y,赋予了几何上的直观意义 对x∈丑,记x‖=(X,x),即‖x‖=(EX2).显然H空间中‖·‖满足 1°|Xx1>0.且|X‖=0台X=0(a.e) 2°|cx‖=l|:‖x.其中c为常数 3°‖X1+X2|1‖X1+2(三角不等式,其中x,∈丑.(i=1,2) 称|X‖为H中X的范数 2005-1-20 应用随机过程讲义第七讲

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笨大学 Tsinghua University 记d(X,Y)=‖Xx-Y|,显然 1°d(X,Y)≥0.且d(X,Y)=0台X=Y(an. 2°d(XY)=dY,x) 3°d(X,Z)≤d(X,Y)+d(Y,Z) 称dX,y)为H中X与Y之间的距离 2005-1-20 应用随机过程讲义第七讲

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笨大学 Tsinghua University 定义设{X.xn,n≥1}c丑 °若in-xdxn,xX)=0,即imn-x|xn-x|imn+x(Ex-x2=10则 称X为序列{Xn,n≥1}的均方极限记作 lim X n→1n X(m8: mean square 简记imn-xxn=X,或Xn=X(n→x) 即,序列{xn,n≥1}均方收敛于x. 2°若imn-x,m=xdX,Xm)=0.则称{xn,n≥1}是柯西序列( Cauchy序列 2005-1-20 应用随机过程讲义第七讲

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笨大学 Tsinghua University 命题若 limno X"=x.则 X=X 2°limn→xP(Xn≤x)=P(X<x)成立, 其中x∈R是P(X<x)的连续点, (即xn2x(n→×) 2005-1-20 应用随机过程讲义第七讲

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草大 Tsinghua University 均方分析 定义设对二阶矩过程{x(),t∈T,若对to≥0有lim-tx()"X(to.即 imn+-tl|x(t)-xto)=0.则称X(在均方连续 若x(对比∈T都均方连续,则称{X(t)t∈T}在T上均方连续 2005-1-20 应用随机过程讲义第七讲 10

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