清华大学：《应用随机过程》课程教学资源（讲义）第二讲 随机变量的数字特征及条件数学期望

大当 Tsinghua Universit 第二讲 随机变量的数字特征 及条件数学期望 2021/220 应用随机过程讲义第二讲

2021/2/20 应用随机过程讲义 第二讲 1 随机变量的数字特征 及条件数学期望 第二讲

大当 Tsinghua Universit 数学期望(复习) ∑xP(X=xk)要求∑|xAP<∞ EX= k xfx(x)dxX具有pdf “权平均” 2021/220 应用随机过程讲义第二讲

2021/2/20 应用随机过程讲义 第二讲 2 数学期望（复习） “权平均”     = =   + − x f x dx x P X x EX X k k ( ) ( )    k k Pk 要求 x X具有p.d.f

大当 Tsinghua Universit 黎曼一斯蒂尔吉斯积分 Riemann- Stieltjes积分 2021/220 应用随机过程讲义第二讲

2021/2/20 应用随机过程讲义 第二讲 3 黎曼－斯蒂尔吉斯积分

大当 Tsinghua University 设F(a)为(-x,+x)上的单调不减右连续函数,9(m)为(-x,+x)上的单值实 函数,Va<b. 定义任取分点a=20<1<22<…<1-1<买;…<n=b,t;∈[x;-1,小 作积分和式 分割 ∑(n)△F(a)=∑mwJF(a2)-F(x1-1 7=1 令A=max1<<n△x;=max1<;<n(x;-;-1),若极限 求和 J(a.b)=imn∑9)△F() =1 取极限 存在,则记 J(b)=/ga)dF(a)(或/aF 称极限J(a,b)为9(x)关于F(x)在[a.b上的RS积分 2021/2/20 应用随机过程讲义第二讲

2021/2/20 应用随机过程讲义 第二讲 4 分割 求和 取极限

大当 Tsinghua Universit 注:(1)当取F(x)=m时, RS积分化为原来的 Rieman积分,所以RS积分是 Rieman积分的推广 (2)若X为离散型随机变量,即P(X=c;)=p,i∈N={1.2…}则 F(2)=∑P 是一跳跃型分布函数,即F(x)的变化只在c1,c2,…,这些点且其跃度为p,则RS积分 g(a)dF()=∑9(cn)F(cn+0)-F(cn-0)=∑g(cn)p 1=1 化成了一个级数 2021/220 应用随机过程讲义第二讲

2021/2/20 应用随机过程讲义 第二讲 5

大当 Tsinghua Universit 在定义了R-S积分之后,我们可以将所有随机变量 的数学期望形式进行统 EX=xP(X≤x 2021/220 应用随机过程讲义第二讲

2021/2/20 应用随机过程讲义 第二讲 6 在定义了R-S积分之后，我们可以将所有随机变量 的数学期望形式进行统一。  + − EX = xdP(X  x)

大当 Tsinghua Universit 随机变量的数学期望( Expectation or Mean) 定义设x为r,PF(m)为d,若/xldF(a)存在,则称 EX= 为rV.X的数学期望或称为X的均值 2021/220 应用随机过程讲义第二讲

2021/2/20 应用随机过程讲义 第二讲 7

大当 Tsinghua Universit 数学期望的性质 若( n)为常数,(x,i=1.2.…,m)为r.v,则 n E∑CX)=∑CEX i=1 i=1 设(a)为x的函数,Fx()为X的分布函数,若E(x)存在,则 E(X)= g(a)dFx(a) 2021/220 应用随机过程讲义第二讲 8

2021/2/20 应用随机过程讲义 第二讲 8 数学期望的性质

大当 Tsinghua Universit X,Y独立→E(YY)=E(X)E(Y) 反之,E(XY)≠E(XE(Y)→Y,Y不独立 X取值非负整数 k EX=∑kP(X=6)=∑(∑1)P(X=k) k=0 =∑P(X≥k) 交换求和顺序 k=1 2021/220 应用随机过程讲义第二讲 9

2021/2/20 应用随机过程讲义 第二讲 9 反之， 不独立 独立 E XY E X E Y X Y X Y E XY E X E Y ( ) ( ) ( ) , , ( ) ( ) ( )    =      =  = =  = =  = = = = 1 0 1 1 ( ) ( ) ( 1) ( ) k k k k i P X k EX k P X k P X k X取值非负整数 交换求和顺序

大当 Tsinghua Universit 同理,对连续型随机变量有相似的结论成立 若X≥0 EX=xP(Xsx)=()P(X≤x) P(X>x)dx 2021/220 应用随机过程讲义第二讲 10

2021/2/20 应用随机过程讲义 第二讲 10        =  =  =   0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 P X x dx EX xdP X x dy dP X x X x 若 同理，对连续型随机变量有相似的结论成立