清华大学：《应用随机过程》课程教学资源（讲义）第五讲 Brown运动

苯大学 singhua University 第五讲 2005-1-3 应用随机过程讲义第五讲

2005-1-3 应用随机过程讲义 第五讲 1 第五讲

苯大学 singhua University 作业题 1(1-5,9),2,3,14(1),16, 2005-1-3 应用随机过程讲义第五讲

2005-1-3 应用随机过程讲义 第五讲 2 • 作业题 1(1~5，9)，2，3，14(1)，16

苯大学 singhua University Brown运动 预备知识:随机变量序列的四种收敛性 回忆实数序列的收敛性定义 {an,n≥1}, lim a=a n→ vE>0,n≥21,当k≥m时,恒有|ak-ak< 2005-1-3 应用随机过程讲义第五讲

2005-1-3 应用随机过程讲义 第五讲 3 Brown运动 预备知识：随机变量序列的四种收敛性 0, 1, , | | . { , 1},lim : ∀ε > ∃ ≥ ≥ − < ε ≥ = →∞ n k n a a a n a a k n n n 当 时 恒有 回忆实数序列的收敛性定义

苯大学 singhua University 几乎处处收敛(以概率1收敛) (almost surely a.S. / almost everywhere a e) 一随机变量序列{Xn(O),n≥1} 若O∈9固定,则Xn()是一实数序列 limAn(a=X(o n→00 若对O∈92,Xn(o)均收敛, 则X(a)→>X(o)可视为函数的收敛 2005-1-3 应用随机过程讲义第五讲

2005-1-3 应用随机过程讲义 第五讲 4 1. 几乎处处收敛(以概率1收敛) (almost surely a.s. /almost everywhere a.e.) lim ( ) ( ). , ( ) . { ( ), 1}, ω ω ω ω ω X X X X n n n n n = ∈Ω ≥ →∞ 若 固定 则 是一实数序列 一随机变量序列 ( ) ( ) . , ( ) , 则 可视为函数的收敛 若对 均收敛 ω ω ω ω X X X n n → ∀ ∈Ω

苯大学 singhua University 概率空间(9,F,P)=([0,1,B[0,1P) c,d]c[0,1,定义P(c,d])=d-c Hf(O)=00∈B={01上有理点全体} 1∈B={0,1上无理点全体} VO∈[0,1],y()=1. O∈ X(O= 0∈(0 2005-1-3 应用随机过程讲义第五讲

2005-1-3 应用随机过程讲义 第五讲 5 1 0 (0, 1 ] 1 ( 1 ,1] ( ) [0,1], ( ) 1. 1 {[0,1] } 0 {[0,1] } . . ( ) [ , ] [0,1], ([ , ]) ( , , ) ([0,1], [0,1], ) ≥   ∈ ∈ = ∀ ∈ =  ∈ = ∈ = = ⊂ = − Ω = n n n X Y B B r v X c d P c d d c P P n # " ω ω ω ω ω ω ω ω 上无理点全体 上有理点全体 定义 概率空间

苯大学 singhua University Xn(O)→Y(0) vO∈g()+(o)o∈B O∈B 集合{o:iX,(o)=X(o)即为无理点全体 P{: lim x(O)=X(0)}=P(B)=1, n→>0 Pa: lim X,(o)*X(O)=P(B)=0 n→00 Xn(O)几乎处处(以概率1)收敛到X(o) 2005-1-3 应用随机过程讲义第五讲

2005-1-3 应用随机过程讲义 第五讲 6 { : lim ( ) ( )} . 1 ( ) , ( ) , ( ) ( ) 集合 ω ω ω 即为无理点全体 ω ω ω ω ω ω ω ω X X B X B X X Y n n n n =  ∈∈ ∀ ∈Ω → ∀ ∈Ω → →∞ ( ) ( 1) ( ). { : lim ( ) ( )} ( ) 0. { : lim ( ) ( )} ( ) 1, ω ω ω ω ω ω ω ω X X P X X P B P X X P B n n n n n 几乎处处 以概率 收敛到 ≠ = = = = = →∞ →∞

苯大学 singhua University 现将Ω扩展到任意的概率空间 对于rs{Xn(O),n≥1,若 PO: limX(a=X(o=1 则称Xn(O几乎处处(以概率1)收敛到X(O) 记为 a. s lim x=X,或者x a e as > XX → X 这种收敛方式要求最高 但不要求每点相等,因为不影响分布函数. 2005-1-3 应用随机过程讲义第五讲 7

2005-1-3 应用随机过程讲义 第五讲 7 . . . , . . , . . lim : ( ) ( ). { : lim ( ) ( )} 1, . . .{ ( ), 1}, . X a s X X a e X X a s X X X P X X r v s X n n n n n n n n n =  →  → = = ≥ Ω →∞ →∞ 或者 记为 则称 到 对于 若 现将 扩展到任意的概率空间 ω ω ω ω ω ω 几乎处处(以概率1)收敛 这种收敛方式要求最高 但不要求每点相等，因为不影响分布函数

苯大学 singhua University P{:X()=Y(0)}=1 →Vx∈R,P(X≤x)=P(Y≤x) 可用公理化定义加以证明 令 B=o: lim Xn(o)=X(o, n→ B={:imx(O)≠X()} 则Xn ae X<P(B)=0 2005-1-3 应用随机过程讲义第五讲

2005-1-3 应用随机过程讲义 第五讲 8 . , ( ) ( ). { : ( ) ( )} 1 可用公理化定义加以证明 x R P X x P Y x P X Y ⇒ ∀ ∈ ≤ = ≤ ω ω = ω = ( ) 0. . . { : lim ( ) ( )}. { : lim ( ) ( )},  → ⇔ = = ≠ = = →∞ →∞ X P B a e X B X X B X X n n n n n 则 令 ω ω ω ω ω ω

苯大学 singhua University 2.依概率收敛 对于rs.{Xn,n≥1}2若:VE>0 lim P(o: XnO)-XOkE=1 则称{Xnn≥1}依概率收敛于x记为 imXn=X,或者Xn>X(n→>∞ n→ 由以概率1收敛可以推出依概率收敛 2005-1-3 应用随机过程讲义第五讲

2005-1-3 应用随机过程讲义 第五讲 9 2. 依概率收敛 lim , .( ) { , 1} . lim ( :| ( ) ( )| ) 1, . . .{ , 1}, : 0 = → → ∞ ≥ − →∞ →∞ X X X X n X n X P X X r v s X n P n P n n n n n n 或者 则称 于 记为 对于 若 依概率收敛 ω ω ω ε ε 由以概率1收敛可以推出依概率收敛

苯大学 singhua University 3.Lnp>0)收敛 对于r.s.{Xn,n≥1},若 liMEIXO-X(Op=o n→>0 则称{xn,n≥1以L收敛于X.记为 X.(n→>∞) 2005-1-3 应用随机过程讲义第五讲

2005-1-3 应用随机过程讲义 第五讲 10 3. Lp(p>0)收敛 .( ) { , 1} . lim | ( ) ( ) | 0, . . .{ , 1}, : → → ∞ ≥ − = ≥ →∞ X X n X n L X E X X r v s X n Lp n n p p n n n 则称 于 记为 对于 若 以 收敛 ω ω