清华大学：《应用随机过程》课程教学资源（讲义）第四讲 离散鞅引论

苯大学 singhua University 第四讲 2005-1-3 应用随机过程讲义第四讲

2005-1-3 应用随机过程讲义 第四讲 1 第四讲

苯大学 singhua University 作业题 1,2,4,6,8 2005-1-3 应用随机过程讲义第四讲

2005-1-3 应用随机过程讲义 第四讲 2 • 作业题 1，2，4，6，8

苯大学 singhua University 离散鞅引论 定义与例子 定义过程{Xnm≥0}是鞅.如果n≥0.有 1°EXn|<x, 2°B(xn+1X,X1…,Xn)=Xnas.(几乎处处) 鞅的背景来源于公平赌博,上式表明,如第n次赌后资金为x,则第n+1赌博后 的平均资金恰等于xn,即每次赌博胜负机会均等 以条件数学期望来定义 2005-1-3 应用随机过程讲义第四讲

2005-1-3 应用随机过程讲义 第四讲 3 离散鞅引论 以条件数学期望来定义

苯大学 singhua University 例:(P,q)随机游动,满足iid, n 且P(Yn=1)=p,P(Y 1)=a,X.=0,XnF不 ∑ E(Xn+1|X0,X12…,xXn) E(X+ YX,X n +1 0 …,Xn) = X +ey n+1 X +(p-q 若p=q=,则 E(Xn+I Xo, X.,Xn=X 若p>q,则 E(Xn+1|X0,X12…,xn)≥Xn 2005-1-3 应用随机过程讲义第四讲

2005-1-3 应用随机过程讲义 第四讲 4 ( 1) , ( 1) , 0, . ( , ) . . ., 1 0 ∑ = = = = − = = = n k n n X X n Yk P Y p P Y q p q i i d 且 例： 随机游动，满足 ( | , , , ) . , ( | , , , ) ; , 2 1 ( ) ( | , , , ) ( | , , , ) 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 n n n n n n n n n n n n n n E X X X X X p q E X X X X X p q X EY X p q E X Y X X X E X X X X ≥ > = = = = + = + − = + + + + + + … … … … 若 则 若 则

苯大学 singhua University 有时{xn,m≥0}不能直接观察,而只能观察另一过程{Yn,m≥0} 故我们作如下定义: 定义设有二过程{Xn,m≥0}及{Yn,n≥0 称{Xn,n≥0}关于{Yn,n≥0}是鞅,如果 1°EXn|<x, 2°E(Xn+10Y1…Yn)=xnas(几乎处处) 2005-1-3 应用随机过程讲义第四讲

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苯大学 singhua University 解释: i)因为Xn=E(x1+10,…,Y)是(0…,Yn)的函数, 故有Exn1r1…,Yn)=Xn (i)EX,+1= E[E(Xn+Yo. Y)]=EX,=EXo 这说明鞅{xn,7≥0}在任何时刻的期塑值均相等 即EXn+1=En=…=EX1=EX0 2005-1-3 应用随机过程讲义第四讲

2005-1-3 应用随机过程讲义 第四讲 6 . 即EXn+1 = EXn =… = EX1 = EX0

苯大学 singhua University 思考: 设T为取值非负整数的rv,P(T<∞)=1, 问EM=EX0 改写下标要注意是否处处有定义 2005-1-3 应用随机过程讲义第四讲

2005-1-3 应用随机过程讲义 第四讲 7 思考： . ? . ., ( ) 1, EX EX0 T r v P T T = < ∞ = 问 设 为取值非负整数的 改写下标要注意是否处处有定义

苯大学 singhua Universi 事实上,EX7≠EX0 反例: T=infn:n>0,Xn=1; p=q→P(T<)=1,ET=0 Xn,n≥0是鞅,EXn=EX0=0 P(X=1)=1{X=lc{<m}=U{7=k k=1 ∪{Xr=17=k}={Xr=1 k=1 EXn=1≠EX 0 2005-1-3 应用随机过程讲义第四讲

2005-1-3 应用随机过程讲义 第四讲 8 . 事实上，EXT ≠ EX0 反例： 1 . { 1, } { 1} ( 1) 1,{ 1} { } { } { , 0 }, 0 ( ) 1, inf{ : 0, 1} 0 1 1 0 EX EX X T k X P X X T T k X n EX EX p q P T ET T n n X T T k T k T T n n n ∴ = ≠ = = = = = = = ⊂ = ∞ = ∞ = ∪ ∪ 是鞅

苯大学 singhua University 上鞅及下鞅 定义 设{xn,n≥0与{Yn,n≥0}是随机过程,称{xn,n≥0}关于{Yn,n≥0} 是一个卡鞅如果 1°E(xn)>-x,其中x=min(.0) E(X+)x示 3°Xn是Y,Y1,…,Y的函数 2005-1-3 应用随机过程讲义第四讲

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苯大学 singhua University 在前面的随机游动模型中, E(xn+1X0,X1,,2n)=Xn+(p-q) 若pq,则为下鞅 2005-1-3 应用随机过程讲义第四讲

2005-1-3 应用随机过程讲义 第四讲 10 在前面的随机游动模型中， , . , ( | , , , ) ( ) 1 0 1 若 则为下鞅 若 则为上鞅； p q p q E X X X X X p q n n n > < + … = + −