同济大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第三单元 极限运算法则

第三单元 极限运算法贝

第三单元 极限运算法则

本单元的内容要点 1无穷小与无穷大的概念; 2极限的运算法则; 3两个重要极限 o4.无穷小的阶与等价无穷小及等价无穷小的替换准则

一、本单元的内容要点 1.无穷小与无穷大的概念； 2.极限的运算法则； 3.两个重要极限 4.无穷小的阶与等价无穷小及等价无穷小的替换准则．

本单元的教学要求 1理解无穷小和无穷大的概念; 2掌握极限的运算法则 3掌握两个重要极限并由此去计算比较复杂的极限; o4.理解无穷小阶的概念,熟记几个常用的等价无穷小并 由此去求一些复杂的极限

二、本单元的教学要求 1.理解无穷小和无穷大的概念； 2.掌握极限的运算法则 3.掌握两个重要极限并由此去计算比较复杂的极限； 4.理解无穷小阶的概念，熟记几个常用的等价无穷小并 由此去求一些复杂的极限．

本单元教学的重点与难点 重点 1无穷小的概念,无穷小与极限的关系 2极限的运算法则,尤其是复合函数极限的运算法则 o3两个重要极限; 4无穷小的阶与等价无穷小的替换

三、本单元教学的重点与难点 重点 1.无穷小的概念，无穷小与极限的关系； 2.极限的运算法则，尤其是复合函数极限的运算法则； 3.两个重要极限； 4.无穷小的阶与等价无穷小的替换．

难点 1要区别无穷小与“很小”的数的差别,注意到无穷小是 类以零为极限的变量; 2注意无穷大与无界函数的差别.无穷大并不是极限 ⊙但却有明显的变化趋势,为了指出这类特殊的变化形式 才引入了无穷大的概念; 3理解无穷小的阶的概念及本质,掌握用等价无穷小替 换方法去求某些复杂极限的方法,尤其是使用等价无穷 小替换的条件

难点 1.要区别无穷小与“很小”的数的差别，注意到无穷小是 一类以零为极限的变量； 2.注意无穷大与无界函数的差别．无穷大并不是极限， 但却有明显的变化趋势，为了指出这类特殊的变化形式 才引入了无穷大的概念； 3.理解无穷小的阶的概念及本质，掌握用等价无穷小替 换方法去求某些复杂极限的方法，尤其是使用等价无穷 小替换的条件．

本单元教学时数:6课时

本单元教学时数： 6课时

无穷小与无穷大 1无穷小 定义如果xx0(x->∞)时函数fx)的极限为零,那么函 e数f(x)就叫做xx0(x-)时的无穷小 注1无穷小是以零为极限的变量,不能把它混同于一个 很小的数 2变量是否为无穷小与自变量的变化过程有关

无穷小与无穷大 1.无穷小 定义 如果 x →x 0 (x→∞ )时函数f(x )的极限为零，那么函 数 f (x )就叫做x →x 0 (x→∞ )时的无穷小． 注 1.无穷小是以零为极限的变量，不能把它混同于一个 很小的数； 2.变量是否为无穷小与自变量的变化过程有关．

例1因 lim x sin-=0,所以变量xsin-是当x0时 x→>0 x X 的无穷小量 定理1在自变量的同一变化过程xx0(x->∞)中,函数 f(x)有极限4的充分必要条件是f(x)=4+a,其中a是无 穷小 证→:若limf(x)=A,则Vε>0,38>0,当04xx8 时,有 f()

例1 因 ，所以变量 是当x→0时 的无穷小量． 0 1 lim sin 0 x x → x = 1 xsin x 定理1 在自变量的同一变化过程x→x0(x→∞)中，函数 f (x)有极限A的充分必要条件是f (x)=A+ α，其中 α 是无 穷小． 证 ⇒：若 ，则∀ ε>0, ∃δ>0, 当0<|x-x0|<δ 时，有 0 lim ( ) x x f x A → = f x( ) − A < ε

令=fx)-A,则,上式为 f(x)-A=|(x)-4-0=a-00, 彐8>0,当0x0 同理可讨论x->∞的情形

令α= f(x)−A, 则，上式为 f x( ) − A = − f ( ) x A − 0 = α − 0 0, ∃δ>0, 当0<|x-x0|<δ时，有 α − 0 ( = − f x) A − 0 = f (x) − 0 < ε , 即： 0 lim ( ) . x x f x A → = 同理可讨论 x→∞的情形．

2无穷大 定义2设函数八(x)在x的某一个空心领域中有定义(或 大于某一个正数),若对于任意给定的正数M,总存在 正数8(或正数X),只要x适合不等式04x-xl-8(x>X),对 应的函数值f(x)总满足不等式 (x)>M 则称函数(x)为当xx0(x-)时的无穷大.记为 lim f(x=oo x→0

2.无穷大 定义2 设函数 f(x)在x0的某一个空心领域中有定义(或 |x|大于某一个正数)，若对于任意给定的正数M，总存在 正数δ(或正数X)，只要x适合不等式0X)，对 应的函数值 f(x)总满足不等式 f x( ) > M , 则称函数 f(x)为当x→x0(x→∞)时的无穷大．记为 lim ( ) . x f x → ∞ = ∞