北京交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第四章 随机变量的数字特征（4.1）数学期望

第四章随机变量的数字特征 §1数学期望 §1数学期望 例1:某班有N个人,其中有n1个人为a1分,i=1,2,…k, ∑n,=N,求平均成绩。 解 平均成绩为:∑an,=∑a," N 若用X表示成绩,则P{X=a} N X=a;} N 「备]返回主目录

例 1：某班有 N 个人，其中有 i n 个人为 i a 分，i = 1,2,k ， n N k i  i = =1 ， 求平均成绩。 第四章 随机变量的数字特征 §1 数学期望 §1 数学期望 解： 平均成绩为:   = = = k i i i k i i i N n a n a N 1 1 1 若用 X表示成绩，则 N n P X a i { = i }    = =    = k i i i k i i i a P X a N n a 1 1 { } 返回主目录

第四章随机变量的数字特征 1、数学期望定义 §1数学期望 (1)离散型 设离散型随机变量ⅹ的分布律为: P{X=xk}=Pk,k=1,2,…, 若级数∑xpk绝对收敛, 则称级数∑xP的和为随机变量ⅹ的数学期望。 记为EX,即EX=∑xPk 数学期望也称为均值。 「备]返回主目录

1、数学期望定义 设离散型随机变量 X 的分布律为： k pk P{X = x } = ，k = 1,2, ， 若级数  i=1 k pk x 绝对收敛， 则称级数  i=1 k pk x 的和为随机变量 X 的数学期望。 记为 EX，即 EX=  k=1 k pk x 。 (1) 离散型 第四章 随机变量的数字特征 §1 数学期望 数学期望也称为均值。 返回主目录

第四章随机变量的数字特征 §1数学期望 (2)、连续型 设连续型随机变量X的概率密度为∫(x), 若积分x(x)k绝对收敛,则称积分Jxf(x)t 的值为Ⅹ的数学期望。记为EX=[x/(x)d, 数学期望也称为均值 「备]返回主目录

设连续型随机变量 X 的概率密度为 f (x)， 若积分   − x f (x)dx绝对收敛，则称积分   − x f (x)dx 的值为 X 的数学期望。记为 EX=   − x f (x)dx， 数学期望也称为均值。 (2)、连续型 第四章 随机变量的数字特征 §1 数学期望 返回主目录

第四章随机变量的数字特征 说可 §1数学期望 ()X即新船到和1X亚太軍 取如画王关 =丁 小= B·明送理幕Zx"b时轴道x"b o = 亚厚·图·录Zx“b限妇杯孤 (用甲士頗料亚曹X即新票弄￥业即晋喱H亚曹X 「备]返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 说 明 §1 数学期望 (1) X的数学期望刻划了X 变化的平均值． 的求和顺序无关． 时，才能保证级数 的和与其级数 变化的平均值，因此，只有当级数 绝对收敛 由于随机变量 的数学期望表示的是随机变量     =  =  = 1 1 1 (2) n n n n n n n n n x p x p x p X X 返回主目录

第四章随机变量的数字特征 例2 §1数学期望 由′S性Y鲜里·1鲜里平太甲上圣忠用 X由里中新 K:S中过新 8 9 10 PYP 0.3 0.6 8 9 10 0.2 0.5 0.3 r回邮一Y职单里平基喜里5 「备]返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 §1 数学期望 甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出： X：甲击中的环数； Y：乙击中的环数； X 8 9 10 P 0.1 0.3 0.6 Y 8 9 10 P 0.2 0.5 0.3 试问哪一个人的射击水平较高？ 例2 返回主目录

第四章随机变量的数字特征 例2(续) §1数学期望 由′S士钢过新叫A E=8×0J+0×03+J0×0Q≡己 EⅠ=8×05+×02+J0×03=0 囝吓Y士钢型下里·由即前里平太量郎S以 「备]返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 §1 数学期望 解： 例2（续） 甲、乙的平均环数可写为 EX = 80.1+ 90.3+10 0.6 = 9.5 EY =80.2+90.5+100.3= 9.1 因此，从平均环数上看，甲的射击水平要比乙的好． 返回主目录

第四章随机变量的数字特征 例3 §1数学期望 痉喱虹亚喜X出YCC·思逢尿新 江+x (2)=1 0<X<+0 甲士 0 L(=1=51x q=卩+x 率邮91A(￥8图业 「备]返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 §1 数学期望 设随机变量X 服从Cauchy分布，其密度函数为 由于 ( )  + − x f x dx ( ) (−    +) + =  x x f x 2 1 1 1   + − + = dx x x 2 1 1   + + = 0 2 1 2 dx x x  ( ) + = + 0 2 ln 1 1 x  = + 这表明积分  ( ) 不绝对收敛， + − xf x d x 因而EX 不存在． 例3 返回主目录

第四章随机变量的数字特征 §1数学期望 例4 设离散型随机变量ⅹ的分布律为: XI O 2 P0.10.20.7 EX=0*0.1+1米0.2+2*0.7=1.6 若离散型随机变量ⅹ的分布律为: X|0 P0.70.20.1 则EX=0*0.7+1*0.2+2*0.1=04 此例说明了数学期望更完整地刻化了x的均值状态 「备]返回主目录

设离散型随机变量 X 的分布律为： X 0 1 2 P 0.1 0.2 0.7 例 4 则 EX = 0*0.1+1*0.2+2*0.7 =1.6 若离散型随机变量 X 的分布律为： X 0 1 2 P 0.7 0.2 0.1 则 EX = 0*0.7+1*0.2+2*0.1 =0.4 第四章 随机变量的数字特征 §1 数学期望 此例说明了数学期望更完整地刻化了x的均值状态。 返回主目录

第四章随机变量的数字特征 例5 按规定,火车站每天800~900,9:00~1000都恰 有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两 者到站的时间相互独立,其规律为: 到站时间8:10,9108:30,930850,9:50 概率 1/6 3/6 2/6 1)旅客8:00到站,求他侯车时间的数学期望 (2)旅客820到站,求他侯车时间的数学期望 解:设旅客的候车时间为X(以分记) (1)X的分布律:X103050 P1/63/62/6 EX-10*(16)+30*(36)+50*(2/6)=33.33(分) 「备]返回主目录

按规定，火车站每天 8:00~9:00, 9:00~10:00 都恰 有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两 者到站的时间相互独立，其规律为： 到站时间 8:10,9:10 8:30,9:30 8:50,9:50 概率 1/6 3/6 2/6 例 5 解：设旅客的候车时间为 X（以分记） (1) X 的分布律： X 10 30 50 P 1/6 3/6 2/6 EX=10*(1/6)+30*(3/6)+50*(2/6)=33.33(分) 第四章 随机变量的数字特征 (1) 旅客 8:00 到站，求他侯车时间的数学期望。 (2) 旅客 8:20 到站，求他侯车时间的数学期望。 返回主目录

第四章随机变量的数字特征 §1数学期望 (2)旅客8:20分到达 Ⅹ的分布率为 X103050 70 90 P|3/62/6(1/6)*(1/6(3/6)*(1/6)(2/6)*(1/6) EX=10*(3/6)+30*(26+50(1/36)+70*(3/36)+90*(2/36) 272(分) 到站时间810910830930850950 概率 1/6 3/6 2/6 「备]返回主目录

X 10 30 50 70 90 P 3/6 2/6 (1/6)*(1/6) (3/6)*(1/6) (2/6)*(1/6) EX=10*(3/6)+30*(2/6)+50*(1/36) +70*(3/36) +90*(2/36) =27.22(分) 第四章 随机变量的数字特征 §1 数学期望 到站时间 8:10,9:10 8:30,9:30 8:50,9:50 概率 1/6 3/6 2/6 （2）旅客8：20分到达 X的分布率为 返回主目录