北京交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第六章 样本及抽样分布

第六章样本及抽样分布 §1随机样本 §1随机样本 总体:研究对象的某项数量指标的值的全体。 个体:总体中的每个元素为个体。 例如:某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体,每 个灯泡的寿命是一个个体;某学校男生的身高 的全体一个总体,每个男生的身高是一个个体。 定义:设X是具有分布函数F的随机变量,若X12…Xn 是具有同一分布函数F的相互独立的随机变量, 则称X1,Xn为从总体X中得到的容量为n的简 单随机样本,简称为样本,其观察值x1xn称 为样本值。 奋]回主目录

§1 随机样本 第六章 样本及抽样分布 §1 随机样本 总体：研究对象的某项数量指标的值的全体。 个体：总体中的每个元素为个体。 定义：设X是具有分布函数F的随机变量，若 X Xn , 1 是具有同一分布函数F的相互独立的随机变量， 则称 为从总体X中得到的容量为n的简 单随机样本，简称为样本，其观察值 称 为样本值。 n x , x 1 X Xn , 1 例如：某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体，每 一个灯泡的寿命是一个个体；某学校男生的身高 的全体一个总体，每个男生的身高是一个个体。 返回主目录

第六章样本及抽样分布 §1随机样本 由定义知:若X12…Xn为X的一个样本,则X12…,Xn 的联合分布函数为: F(x1…xn)= F(x1) 若设X的概率密度为f,则X12…,Xn的联合概 率密度为: f(x1,…2xn)= f(x;) 「备]回主目录

§1 随机样本 第六章 样本及抽样分布 由定义知：若 为X的一个样本，则 的联合分布函数为： X Xn , , 1  X Xn , , 1  = = n i n i F x x F x 1 1 * ( ,, ) ( ) 若设X的概率密度为f，则 的联合概 率密度为： X Xn , , 1  = = n i n i f x x f x 1 1 * ( ,, ) ( ) 返回主目录

第六章样本及抽样分布 §2抽样分布 §2抽样分布 1.定义:设X12…Xn为来自总体X的一个样本, g(X1…Xn)是X1…kn的函数,若g是连续函数,且 g中不含任何未知参数; 则称g(X1,…Xn)是一个统计量 设x1,…x是相应于样本(X12…Xn)样本值 则称g(x1…xn)是g(X1,…Xn)舶观察值 注:统计量是随机变量。 「备]回主目录

§２ 抽样分布 第六章 样本及抽样分布 §2 抽样分布 1. 定义：设 为来自总体X的一个样本， g 是 的函数，若g是连续函数，且 g中不含任何未知参数； X Xn , 1 X Xn , ( , ) 1 X1 Xn 则称g(X1 , Xn )是一个统计量。 则称g(x1 , xn )是g(X1 , Xn )的观察值。 注：统计量是随机变量。 设 x1 , xn是相应于样本(X1 , Xn )的样本值。 返回主目录

第六章样本及抽样分布 例1 §2抽样分布 设X12…Xn为来自总体X~N(42a2)的一个样本, 其中知,G已知,问下列随机变量中那些是统计量 X1+XX1+…+X mn(X1,X2,…,Xn) (X1+Xn)2.(X1+…+Xn)-n 2 O no 2.常用的统计量 样本均值:X=∑X 样本方差:S2 ∑ (X1-X ∑x2-n2 「备]回主目录

§２ 抽样分布 第六章 样本及抽样分布 例1 设 X1 , Xn 为来自总体 ~ ( , ) 的一个样本， 2 X N   其中未知, 2 已知， 问下列随机变量中那些是统计量 . ( ) . ; ( ) ; ; 2 min( , , , ); 1 2 2 1 1 1 1 2     n X X X X n n X X X X X X X n n n n n + + + − − + + +    2. 常用的统计量 = = n i Xi n X 1 1 样本均值：   = = − − − = − = n i i n i i X nX n X X n S 1 2 2 1 2 2 [ ] 1 1 ( ) 1 1 样本方差： 返回主目录

第六章样本及抽样分布 §2抽样分布 样本标准差:S=√S2 Vn-12(x-2 样本阶(原点矩:Ak=∑X kK 样本6阶中心矩:Bk=∑(x,-x)k=12 它们的观察值分别为: x=∑ ∑ 2 X-x n-1 奋]回主目录

§２ 抽样分布 第六章 样本及抽样分布 = − − = = n i Xi X n S S 1 2 2 ( ) 1 1 样本标准差： 1,2, 1 ( ) 1 =  = = X k n k A n i k 样本 阶 原点 矩： k i ( ) 1,2, 1 1 =  − = = X X k n k B n i k 样本 阶中心矩： k i 它们的观察值分别为： = = n i i x n x 1 1 [ ] 1 1 ( ) 1 1 1 2 2 1 2 2   = = − − − = − = n i i n i i x nx n x x n s 返回主目录

第六章样本及抽样分布 §2抽样分布 ∑(x k k k=1.2 x1-x),k=1,2… 分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样 本k阶矩、样本k阶中心矩 统计量是样本的函数,它是一个随机变量,统计 量的分布称为抽样分布 「备]回主目录

第六章 样本及抽样分布 §２ 抽样分布 = − − = n i i x x n s 1 2 ( ) 1 1 , 1,2 1 1 =  = = x k n a n i k k i ( ) , 1,2 1 1 =  − = = x x k n b n i k k i 分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样 本k阶矩、样本k阶中心矩。 统计量是样本的函数，它是一个随机变量，统计 量的分布称为抽样分布。 返回主目录

第六章样本及抽样分布 §2抽样分布 EX=,DX=D的一个样本 结论:设X1…Xn为来自总体X 2 EX=,DX=0,ES2=a2、参看P2习题21) 奋返回主目录

第六章 样本及抽样分布 §２ 抽样分布 结论：设 X1 , Xn 为来自总体 的一个样本， , , 2 EX =  DX =  则 , , . 21.) 129 2 2 2 ES （参看P 习题 n E X DX   =  = = X 返回主目录

第六章样本及抽样分布 3.常用统计量的分布 §2抽样分布 (1)x2-分布 设(X12…Xn)为来自于正态总体N(0,1)的样本, 则称统计量: X 2 +∴+X 所服从的分布为自由度是n的x2分布 记为x2~x2(mn) x2分布的性质: 19.x2~x2(n1),2~x2(n2),且x2,x2独立,则有 x1+x2~x2(n1+n2) 「备]回主目录

第六章 样本及抽样分布 3. 常用统计量的分布 (1)  2 −分布 设(X1 , Xn )为来自于正态总体 N(0,1)的样本， §２ 抽样分布 2 2 1 2  = X ++ Xn 则称统计量： ~ ( ) 2 2 2 n n    记为 所服从的分布为自由度 是 的 分布。  2 分布的性质： 1 0 .1 2 ~  2 (n1 ) , 2 2 ~  2 (n2 ) ,且1 2 ， 2 2 独立，则有 ~ ( ) 1 2 2 2 2 2 1 +   n + n 返回主目录

第六章样本及抽样分布 §2抽样分布 2.EX n, Dx 2=2n 证:EH1=0,DX1=12X1~N(O,1)EM2=1 DX:=EX-(EX 3-1 所以Bx=E(H2)=>Ex2=n Dx=d( Xi=> DXi=2n 奋返回主目录

第六章 样本及抽样分布 2 .E n, D 2n 0 2 2  =  = §２ 抽样分布 EX 0, DX 1, X ~ N(0,1) 证： i = i = i DXi EXi (EXi ) 3 1 2, i 1,2, n 2 4 2 2 = − = − = = ( ) . 1 2 1 2 2 E E X EX n n i i n i =  i = = = = 所以  ( ) 2 . 1 2 1 2 2 D D X DX n n i i n i =  i = = = =  1, 2 EXi = 返回主目录

第六章样本及抽样分布 §2抽样分布 x 对于给定的α(0x(n=a 的点x2(m)为x2(n)分布的上a分位点 当n充分大时,xa(m)1 z+√2n-1 z,是标准正态分布的上a分位点。 奋返回主目录

第六章 样本及抽样分布 §２ 抽样分布        =   { ( )} (0 1) 2 2 P n 对于给定的 ，称满足条件： 的点  2 (n)为 2 (n)分布的上分位点。  2   是标准正态分布的上 分位点。 当 充分大时，      z n n z n 2 2 ( 2 1) 2 1 ( )  + − 返回主目录