沈阳师范大学：《电动力学》课程教学资源（教案）第五章 电磁波的传播

第五章电磁波的辐射电磁辐射一.不稳定的电荷、电流激发的电磁场随时间变化。有一部分电磁场以波的形式脱离场源向外运动，这被称为电磁波的辐射。本章主要研究高频交变电流产生的电磁辐射。二．引入矢势和标势可以更方便的求解电磁辐射问题与静电场引入电势、静磁场引入标势相似，为了便于求解普适的场方程，在变化情况下仍然可以引入势的概念。但是，由于电场的旋度不为零，这里引入的失势、标势与静电场情况有很大的不同。三．辐射问题的本质也是边值问题变化电荷、电流分布激发电磁场，电磁场又反过来影响电荷、电流分布。空间电磁场的分布就在这一对矛盾相互制约下形成的。变化的电荷、电流分布一般具有边界，因此在求解时要考虑它们的边界条件和边值关系。但是，一般情况下这种的边界情况很复杂，使得电荷、电流分布无法确定，因此使得求解问题无法进行。在本章我们仅讨论电荷、电流分布为已知的辐射问题。s5.1电磁场的失势和标势85.2推迟势教学目标：1.理解时变电磁场矢势和标势，理解并掌握规范变换和洛伦兹规范条件，知道达朗贝尔方程及其解推迟势；2.会根据时变场性质引入势函数描述时变场，能够应用洛伦兹变

第五章 电磁波的辐射 一． 电磁辐射 不稳定的电荷、电流激发的电磁场随时间变化。有一部分电磁场 以波的形式脱离场源向外运动，这被称为电磁波的辐射。 本章主要研究高频交变电流产生的电磁辐射。 二． 引入矢势和标势可以更方便的求解电磁辐射问题 与静电场引入电势、静磁场引入标势相似，为了便于求解普适的 场方程，在变化情况下仍然可以引入势的概念。但是，由于电场的旋 度不为零，这里引入的失势、标势与静电场情况有很大的不同。 三． 辐射问题的本质也是边值问题 变化电荷、电流分布激发电磁场，电磁场又反过来影响电荷、电 流分布。空间电磁场的分布就在这一对矛盾相互制约下形成的。变化 的电荷、电流分布一般具有边界，因此在求解时要考虑它们的边界条 件和边值关系。但是，一般情况下这种的边界情况很复杂，使得电荷、 电流分布无法确定，因此使得求解问题无法进行。在本章我们仅讨论 电荷、电流分布为已知的辐射问题。 §5.1 电磁场的矢势和标势 §5.2 推迟势 教学目标： 1.理解时变电磁场矢势和标势，理解并掌握规范变换和洛伦兹规 范条件，知道达朗贝尔方程及其解推迟势； 2.会根据时变场性质引入势函数描述时变场，能够应用洛伦兹变

换推导达朗贝尔方程；3.深刻理解用场方程和势函数描述电磁场的思想方法4.了解电磁波的辐射和接收在实际应用中的重要应用和意义。课程思政：认识电磁波的辐射和接收是实际社会生产生活中的重要问题，提升学习电磁波辐射理论并在实际生产中创新应用的社会责任感。教学时长：2学时教学重点：时变电磁场矢势和标势，规范变换，洛伦兹规范条件，达朗贝尔方程，推迟势。教学难点：规范变换和规范不变性，时变场势函数与静场势函数的异同，对推迟势的理解。教学方法：讲授法、讨论法、演示法。教学内容：一、电磁场的矢势和标势1.矢势的引入由于V·B=0（与静电场相同），可以引入矢势A，使得B-VxA注意：①与静磁场不同，这里引入的矢势与时间相关②矢势的意义与静磁场情况相同，即A·di=「B.ds。1's2.标势的引入

换推导达朗贝尔方程； 3.深刻理解用场方程和势函数描述电磁场的思想方法； 4.了解电磁波的辐射和接收在实际应用中的重要应用和意义。 课程思政：认识电磁波的辐射和接收是实际社会生产生活中的重要问 题，提升学习电磁波辐射理论并在实际生产中创新应用的社会责任 感。 教学时长：2学时 教学重点：时变电磁场矢势和标势，规范变换，洛伦兹规范条件，达 朗贝尔方程，推迟势。 教学难点：规范变换和规范不变性，时变场势函数与静场势函数的异 同，对推迟势的理解。 教学方法：讲授法、讨论法、演示法。 教学内容： 一、电磁场的矢势和标势 1.矢势的引入 由于   B = 0  （与静电场相同），可以引入矢势 A  ，使得 B A   =  注意： ①与静磁场不同，这里引入的矢势与时间相关； ②矢势的意义与静磁场情况相同，即    =  L S A dl B dS     。 2.标势的引入

在变化电磁场情况，V×E=-B≠0，不能象静电场那样直接引入at标量势函数。但是，由B=V×A和电场的旋度方程可以得到：%vxA=-Vx2,VxE=-atat移项并合并得：aAVx(E+=0at因此可以引入标量势函数?，使得E+aA=-V,at引入后电场强度：aAE=-Vp-at二、规范变换和规范不变性1.规范变换同静场相同，这里引入的矢势和标势也不唯一，但是矢势和标势在变化电磁场情况相互间有一定的关系。规范：给定一组(A，)称为一种规范；规范变换：不同规范之间满足的变换关系称为规范变换。两种规范间的变换关系式：A'=A+Vy0'=0-at证明：

在变化电磁场情况，  0    = − t B E   ，不能象静电场那样直接引入 标量势函数。但是，由 B A   =  和电场的旋度方程可以得到： t A A t E    = −    = −    ， 移项并合并得： ( ) = 0    + t A E   因此可以引入标量势函数  ，使得 = −   + t A E   ， 引入后电场强度： A E φ t 二、规范变换和规范不变性 1．规范变换 同静场相同，这里引入的矢势和标势也不唯一，但是矢势和标势 在变化电磁场情况相互间有一定的关系。 规范：给定一组 (A, )  称为一种规范； 规范变换：不同规范之间满足的变换关系称为规范变换。 两种规范间的变换关系式： A A ψ ψ φ φ t 证明：

由于A和A，和y没有改变电场和磁场强度，所以B=VxA'=VxA'+0=VxA'-VxV=VxA即A'=A+Vy。OA--0'--.%--V(0*+Oy)aaE--Vp'-9又atatatatat0%ay故0=0-0规范不变性：在规范变换下电磁场的强度、方程保持不变的性质。规范场：运动方程具有规范不变性的场称为规范场。2.两种规范要使势函数减少任意性，必须给出√.A，它的值被称为规范的辅助条件。V·A值选择是任意的，但若选择的好，可使电磁场的解简单，基本方程对称或物理意义明显。1）库仑规范规范条件：.A=0（即定义A为无源场）。在这一条件下的(A，)称为库仑规范。在库仑规范下，A为横场，Vβ纵场。因此，电场的横场部分完全有A决定，而纵场部分完全有β决定。在这种情况下，β由电荷、电流的瞬时分布求解，与静电场的电势类似，因此称为库仑场满足的方程：2w=0（即满足拉普拉斯方程）证明：:V.A-V.A+V.Vy=0，:V=0。2）洛仑兹规范

由于 A  和 A  ， 和   没有改变电场和磁场强度，所以 B A A A A      =   =   + 0 =   −  =  即 A = A +    。 又 t A t t t A t A E   −   = −  +   −     = −  −    = −  −     ( )      = t  −  −   ， 故 t   = −    规范不变性：在规范变换下电磁场的强度、方程保持不变的性质。 规范场：运动方程具有规范不变性的场称为规范场。 2.两种规范 要使势函数减少任意性，必须给出 A   ，它的值被称为规范的辅 助条件。 A   值选择是任意的，但若选择的好，可使电磁场的解简单， 基本方程对称或物理意义明显。 1）库仑规范 规范条件：   A = 0  （即定义 A  为无源场）。 在这一条件下的 (A, )  称为库仑规范。在库仑规范下， A  为横场，  纵场。因此，电场的横场部分完全有 A  决定，而纵场部分完全有  决定。在这种情况下，  由电荷、电流的瞬时分布求解，与静电场的 电势类似，因此称为库仑场。  满足的方程： 0 2   = （即  满足拉普拉斯方程） 证明：∵   A =   A +   = 0   ，∴ 0 2   = 。 2）洛仑兹规范

.4+1-0规范条件：c2at后面将看到在洛仑兹规范下，A所满足的方程具有高度的对称性，这种对称性将满足相对论的协变性，有很重要的理论意义。w-10-0满足的方程：（即满足波动方程）Wc2 at?证明："V.A+111y=V.A+V.VV+a?2at10)=0,=(V.A+→)+(V2--c?at?c? at.w-1%=0.c? at?三、达朗贝尔方程真空中的达朗贝尔方程V2A-02A4-(VA+)--H0?at?c2 at+%(v.A)--at60证明：aA将B=VxA,E=-VQ-at代入麦克斯韦方程：aE+Moj,V.E-PVxB=60l02t60并利用V×(V×A)=V(V. A)-V2A得到达朗贝尔方程

规范条件： 0 1 2 =     + c t A   。 后面将看到在洛仑兹规范下， A,   所满足的方程具有高度的对称 性，这种对称性将满足相对论的协变性，有很重要的理论意义。  满足的方程： 0 1 2 2 2 2 =    − c t   （即  满足波动方程） 证明： ∵ 2 2 2 2 2 1 1 1 c t c t A c t A   −   =   +   +       +       = ) 0 1 ) ( 1 ( 2 2 2 2 2 =   +  −     + c t c t A     ， ∴ 0 1 2 2 2 2 =    − c t   。 三、达朗贝尔方程 真空中的达朗贝尔方程          = −    + = −   −    +    − 0 2 2 2 0 2 2 2 ( ) ) 1 ( 1      A t J c t A t A c A      证明： 将 B A   =  ， t A E   = − −    代入麦克斯韦方程： 0 0 0 0 ,     +    =    = J E t E B     并利用 A A A    2  ( ) = (  ) −  得到达朗贝尔方程

（详细证明过程由学生自已补齐）库仑规范下的达朗贝尔方程[A--%V0--H0jc?at?c?atVp=-60可见β满足泊松方程，与静电情况类似，即空间某处的β在t时刻的值由电荷在t时刻的分布p(x,t)给出，不能直观的反映电磁相互作用传播是非超距的特性。洛仑兹规范下的达朗贝尔方程A-0A.-a3=-0V0+1o--ptat?60说明：1）达朗贝尔方程反映了电磁场的波动性。洛仑兹规范下的达朗贝尔方程是两个波动方程，因此由它们求出的(A,β)及(E，B)均为波动形式，反映了电磁场的波动性。2）两个方程具有高度的对称性且相互独立。求出一个解，另一个解就迎刃而解。在下一节将看到，洛仑兹条件下达朗贝尔方程的解直接反映出电磁相互作用需要时间。基于这些考虑，在研究辐射问题时，一般都是采用洛仑兹条件下的达朗贝尔方程。[例]用两种规范求解平面电磁波。解：（1）用库仑规范求解

（详细证明过程由学生自己补齐） 库仑规范下的达朗贝尔方程         = −  = −   −    − 0 2 2 2 0 2 2 2 1 1      J t c t A c A    可见  满足泊松方程，与静电情况类似，即空间某处的  在 t 时刻 的值由电荷在 t 时刻的分布 (x  ,t)   给出，不能直观的反映电磁相互作 用传播是非超距的特性。 洛仑兹规范下的达朗贝尔方程        = −    + = −    − 0 2 2 2 2 2 0 2 2 2 1 1      c t J t A c A    说明： 1）达朗贝尔方程反映了电磁场的波动性。洛仑兹规范下的达朗贝尔 方程是两个波动方程，因此由它们求出的 (A, )  及 (E, B)   均为波动形 式，反映了电磁场的波动性。 2）两个方程具有高度的对称性且相互独立。求出一个解，另一个解 就迎刃而解。在下一节将看到，洛仑兹条件下达朗贝尔方程的解直接 反映出电磁相互作用需要时间。基于这些考虑，在研究辐射问题时， 一般都是采用洛仑兹条件下的达朗贝尔方程。 [例]用两种规范求解平面电磁波。 解： （1）用库仑规范求解

因为是在自由空间讨论问题，考虑解的唯一性，?=0是唯一的解。库仑规范下的达朗贝尔方程化为：VA-0A=-μoj,c20t?其解为：A=Aoei(k-r-o),由V.A=0可推出K.A=0。因此得到：[E=-4 - Eoe(K-F-ol)at[B=VxA= Boe(k-ot)（2）用洛仑兹规范求解从洛仑兹规范下的达朗伯方程直接可以得到矢势和标势的平面波解：A- Aoei(k.r-ot)(0= Poe(k-r-ol) B=VxA- Boei(k-r-ot);得到=-10p和A+=0得到由V.A=ik.A，atc? ati(k.r-ot)k.A=Doe0A得：由B=VxA,E=-Vp-atB=-IVxE0与第四章的解完全一致。如果加上k.A=0这一条件，则得β=0，两种规范就完全一致了。在这种情况下，A是唯一确定的

因为是在自由空间讨论问题，考虑解的唯一性，  =0 是唯一的解。 库仑规范下的达朗贝尔方程化为： J t A c A    2 0 2 2 2 1 = −    − ， 其解为： ( ) 0 i k r t A A e  − =     ， 由   A = 0  可推出 k  A = 0   。 因此得到：      =  = =   = −  −  − ( ) 0 ( ) 0 i k r t i k r t B A B e E e t A E             （2）用洛仑兹规范求解 从洛仑兹规范下的达朗伯方程直接可以得到矢势和标势的平 面波解：      = =  −  − ( ) 0 ( ) 0 i k r t i k r t e A A e           ， 得到 ( ) 0 i k r t B A B e  − =  =      ； 由 A ik A     =  ，   i t = −   和 0 1 2 =     + c t A   得到： ( ) 0 2 i k r t k A e c      − =  =     ； 由 B A   =  ， t A E   = − −    得： E i B   = −   与第四章的解完全一致。如果加上 k  A = 0   这一条件，则得  = 0， 两种规范就完全一致了。在这种情况下， A  是唯一确定的

四、推迟势一一标势的达朗伯方程的解1.推迟势在空间存在电荷和电流分布情况下，达朗贝尔方程之标势方程中p=p(x,I)为已知。若p(x,1)较复杂，直接得到一般解比较困难。可以先从一个点电荷出发，然后由选加原理得到解。1）点电荷Q()在空间激发的标势设点电荷处于原点，p(x,t)=Q(1)(3)，考虑对称性取球坐标且=p(r,t)与，无关。标势的达朗伯方程化为：18(20)-10=--900)rar(atc2 at26012(r2 09)-10202=0当r0时，at2rarato2u_1o2u0(r,1) = (r,1)令=0一0r2~2 0r2r这个类似于一维波动方程的解可以表示为：u(r,t)= f(t-)+g(t+=). g(t+%)0(r,1) = (-)福则：(r+0),rrf(t-g(t+ /代表向外传播的球面波，代表向内收敛的球面波。Ir由于是讨论辐射问题可令：g(t+-)=0。C与点电荷的电势类比有：Q(t-%)p(r,t) =4元60r若点电荷不在原点而在空间点，则

四、推迟势——标势的达朗伯方程的解 1.推迟势 在空间存在电荷和电流分布情况下，达朗贝尔方程之标势方程中 (x,t)   =  为已知。若 (x,t)   较复杂，直接得到一般解比较困难。可以 先从一个点电荷出发，然后由迭加原理得到解。 1）点电荷 Q(t) 在空间激发的标势 设点电荷处于原点， (x,t) Q(t) (x)    =  ，考虑对称性取球坐标且  = (r,t) 与 ,  无关。标势的达朗伯方程化为： 0 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 1    Q t  r c t t r r r = −   −     当 r  0 时， 0 1 ( ) 1 2 2 2 2 =   −     c t t r r r   令 r u r t r t ( , ) ( , ) =  0 1 2 2 2 2 2 =   −   r u r c u 这个类似于一维波动方程的解可以表示为： ( , ) ( ) ( ) c r g t c r u r t = f t − + + 则： r c r g t r c r f t r t ( ) ( ) ( , ) + + −  = (r  0)， r c r f (t − ) 代表向外传播的球面波， r c r g(t + ) 代表向内收敛的球面波。 由于是讨论辐射问题可令： ( + ) = 0 c r g t 。 与点电荷的电势类比有： r c r Q t r t 4 0 ( ) ( , )   − = 。 若点电荷不在原点而在空间 x   点，则

0(,t-%)p(x,t) =4元6or2）连续的电荷分布在空间产生的电势p(x,t-%)p(x,1)=4元603）矢势A的解由于A满足的方程形式上与β满足的方程一样，所以A的解应当是：A(,1) =40 J(,1-4元JVA、β满足洛仑兹条件V.A+1=0.c2 at2.推迟势的物理意义1)势函数在空间x点，t时刻的值依赖于t-%时刻的电荷、电流分布，即空间势的建立与场源相比推迟了%。具有这样特性的势称为推迟势。2）电磁相互作用需要时间，空间点，1时刻的电磁场由1-%时刻的电荷、电流分布决定。也就是说电荷、电流产生的物理作用是经历了t+%时间后才到达观察点，即场的建立需要时间，而相互作用的传播速度在真空中为C。教学过程设计：线上学习电磁场的失势和标势、推迟势20分钟。课堂教学电磁场的矢势和标势的深入理解、规范变换、达朗贝尔方程及推导、推迟势的深入理解70分钟

r c r Q x t x t 4 0 ( , ) ( , )    − =   。 2）连续的电荷分布在空间产生的电势 dV r c r x t x t V   − = 4 0 ( , ) ( , )      3）矢势 A  的解 由于 A  满足的方程形式上与  满足的方程一样，所以 A  的解应当 是： dV r c r J x t A x t V   − =  ( , ) 4 ( , ) 0       A  、 满足洛仑兹条件 =     + c t A  2  1 0。 2.推迟势的物理意义 1）势函数在空间 x  点， t 时刻的值依赖于 c r t − 时刻的电荷、电流分布， 即空间势的建立与场源相比推迟了 c r 。具有这样特性的势称为推迟 势。 2）电磁相互作用需要时间，空间 x  点， t 时刻的电磁场由 c r t − 时刻的 电荷、电流分布决定。也就是说电荷、电流产生的物理作用是经历了 c r t + 时间后才到达观察点，即场的建立需要时间，而相互作用的传 播速度在真空中为 C。 教学过程设计：线上学习电磁场的矢势和标势、推迟势 20 分钟。课 堂教学电磁场的矢势和标势的深入理解、规范变换、达朗贝尔方程及 推导、推迟势的深入理解 70 分钟

课件设计：第一节电旺场的失热和际费..w.t..18-93-05-03-#-电国务.20第五衣电发的品射ORR不1O-/-E..0V.a-o9t提提不变性不DFR第一节退势T-A+V0apMR的达旅君RRRnwwgronma-0Ha的t.0-90-课后作业：复习电磁场的矢势和标势及其满足的规范条件、场方程。尝试证明推迟势满足洛伦兹规范条件。教学反思：1.类比静态场势函数引入时变场势函数，注意两两对比分析；2.本节理论较为抽象，概念较多，注意结合实际进行深入分析；3.注意明确提出知识内容的学习要求，强调学习评价的过程性，不可急于求成

课件设计： 课后作业：复习电磁场的矢势和标势及其满足的规范条件、场方程。 尝试证明推迟势满足洛伦兹规范条件。 教学反思： 1.类比静态场势函数引入时变场势函数，注意两两对比分析； 2.本节理论较为抽象，概念较多，注意结合实际进行深入分析； 3.注意明确提出知识内容的学习要求，强调学习评价的过程性，不可 急于求成