《电动力学》课程教学资源（课件讲稿）第二章 静电场 2.4 镜像法

电动力学第二章第二章静电场

电动力学 第二章 第二章 静电场

电动力学第二章唯一性定理a当区域V内自由电荷和区域V的边界上电势ls或电势的法向导数anls给定时，则该区域内静电场的分布唯一确定。若区域内有导体存在，还需给定每个导体的电势?或每个导体所带自由电荷Q，此时解才唯一确定。场方程和边界条件给定时，场有唯一正确的解

电动力学 第二章 若区域内有导体存在，还需给定每个导体的电势 或每个导体所带自 由电荷Q，此时解才唯一确定。 当区域V内自由电荷和区域V的边界上电势 或电势的法向导数 给定时，则该区域内静电场的分布唯一确定。 S  n S    唯一性定理 场方程和边界条件给定时,场有唯一正确的解

电动力学第二章第四节镜像法实质镜像法实质是用置于区域外的镜像电荷来等效地代替导体分界面的感应电荷或介质分界面的极化电荷，只要原有电荷与镜像电荷一起产生的场能够满足原有的场方程和边界条件，则由唯一性定理知所得解即为唯一正确的解。适用范围区域中只有一个或几个点电荷，区域边界是规则的导体面或介质面，则该问题可用镜像法求解

电动力学 第二章 第四节 镜像法  实质 镜像法实质是用置于区域外的镜像电荷来等效地代替导体分界 面的感应电荷或介质分界面的极化电荷，只要原有电荷与镜像电荷一 起产生的场能够满足原有的场方程和边界条件，则由唯一性定理知所 得解即为唯一正确的解。  适用范围 区域中只有一个或几个点电荷，区域边界是规则的导体面或介 质面，则该问题可用镜像法求解

电动力学第二章镜像法基本解题步骤建立适当的坐标系写出场方程和边界条件。找出满足场方程和边界条件的尝试解，利用边界条件确定镜像电荷的电量位置等。对所得解进行讨论。福

电动力学 第二章 镜像法基本解题步骤 ① 建立适当的坐标系 ② 写出场方程和边界条件。 ③ 找出满足场方程和边界条件的尝试解。 ④ 利用边界条件确定镜像电荷的电量位置等。 ⑤ 对所得解进行讨论

电动力学第二章例距无限大接地导体平面为h处有一点电荷0。求空间电场。解：建立如图坐标系显然导体板下方电场为零。设导体板上方电位为①，场方程为Vp=-P80βl== 0边界条件为Pl→= 0如图放置镜像电荷，空间电位为QQr=[x +y2 +(2-h)D4元00r4元0rr'=[x?+y+(z+h)"]此解满足场方程和边界条件，根据唯一性定理，是唯一正确的解

电动力学 第二章 0 0 = = z  2 0     = − 解： 边界条件为 0 0 4 4 ' = − Q Q r r    显然导体板下方电场为零。 设导体板上方电位为 ，场方程为 0 → = z  如图放置镜像电荷，空间电位为 建立如图坐标系 P h −Q O z Q h 例 距无限大接地导体平面为h处有一点电荷Q。求空间电场。  1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 [ ( ) ] ' [ ( ) ] = + + − = + + + r x y z h r x y z h 此解满足场方程和边界条件，根据唯一性定理，是唯一正确的解

电动力学第二章镜像法基本解题步骤建立适当的坐标系写出场方程和边界条件。找出满足场方程和边界条件的尝试解，利用边界条件确定镜像电荷的电量位置等。对所得解进行讨论。福

电动力学 第二章 镜像法基本解题步骤 ① 建立适当的坐标系 ② 写出场方程和边界条件。 ③ 找出满足场方程和边界条件的尝试解。 ④ 利用边界条件确定镜像电荷的电量位置等。 ⑤ 对所得解进行讨论

电动力学第二章例真空中有一半径为R的接地导体球，距球心为a（a>R）处有一点电荷Q，求空间各点电势。解：建立如图所示球坐标系显然球外电势满足泊松方程边界条件：=0一设置镜像电荷如图，则空间电势为=Vr?+a2-2racos0O4元6。(rr2r,=/r2+b2-2rbcos0

电动力学 第二章 P 例 真空中有一半径为R的接地导体球，距球心为a（a > R）处 有一点电荷Q，求空间各点电势。 解：建立如图所示球坐标系 显然球外电势满足泊松方程 边界条件： 0 r  →  0 = r R  = = 设置镜像电荷如图，则空间电势为 0 1 2 1 4 Q Q r r      = +     2 2 1 r r a r a = + − 2 c o s  2 2 2 r r b r b = + − 2 c o s  O z

电动力学第二章例真空中有一半径为R的接地导体球，距球心为a（a>R）处有一点电荷0，求空间各点电势。解：=r2+a?-2racos0D4元。Tr12r, =r+b2- 2rbcoso边界条件：=0带入边界条件②可解得ro2=r'0R?QR福6=福4元8。Cradb=α 舍Q'=-Q

电动力学 第二章 解： 边界条件： 0 r  →  0 = r R  = = 0 1 2 1 4 Q Q r r      = +     2 2 1 r r a r a = + − 2 c o s  2 2 2 r r b r b = + − 2 c o s  带入边界条件②可解得 0 1 2 1 0 4 Q Q   r r     + =   2 2 2 2 1 2  = r Q r Q  2 R R Q Q b a a  = − =   = − = Q Q b a  舍 例 真空中有一半径为R的接地导体球，距球心为a（a > R）处 有一点电荷Q，求空间各点电势

电动力学第二章例真空中有一半径为R的接地导体球，距球心为a（a>R）处有一点电荷0，求空间各点电势。解：r=Vr?+a?-2racos004元50r=/r?+b2-2rbcos0CrrQRQ/a4元Vr?+a?-2racoser?+b?-2rbcos0带入边界条件②可解得R2Rb:4元80Cra

电动力学 第二章 解： 0 1 2 1 4 Q Q r r      = +     2 2 1 r r a ra = + − 2 cos 2 2 2 r r b rb = + − 2 cos 带入边界条件②可解得 0 1 2 1 0 4 Q Q   r r     + =   2 R R Q Q b a a  = − =  2 2 2 2 0 1 / 4 2 cos 2 cos Q RQ a r a ra r b rb       = −     + − + − 例 真空中有一半径为R的接地导体球，距球心为a（ a > R） 处有一点电荷Q，求空间各点电势

电动力学第二章例真空中有一半径为R的导体球带电荷Oo，距球心为a（a>R）处有一点电荷0，求空间各点电势和电荷0所受的力。解：建立如图所示球坐标系显然电势满足泊松方程边界条件：0= 0r-,=CDr=RdoQRdsRr=ROrb=60aa设置镜像电荷如图，则空间电势为r2+a2-2racos0PE4元80r?+b?-2rbcosorr2

电动力学 第二章 P 例 真空中有一半径为R的导体球带电荷Q0，距球心为a（a > R） 处有一点电荷Q，求空间各点电势和电荷Q所受的力。 解：建立如图所示球坐标系 显然电势满足泊松方程 边界条件： 设置镜像电荷如图，则空间电势为 0 1 2 1 + 4 Q Q Q Q r r r       − = +     2 2 1 r r a r a = + − 2 c o s  2 2 2 r r b r b = + − 2 c o s  O z 0 0 r R Q dS r   =  − =   2 R R Q Q b a a  = − = 0 r  →  = r R C =  =