《电动力学》课程教学资源（课件讲稿）第二章 静电场 2.2 唯一性定理

电动力学第二章第二章静电场

电动力学 第二章 第二章 静电场

电动力学第二章第二节 唯一性定理唯一性定理唯一性定理的应用

电动力学 第二章 第二节 唯一性定理 ⚫ 唯一性定理 ⚫ 唯一性定理的应用

电动力学第二章对于可以均匀分区的区域V，设区域内有给定的自由电荷分布p()电势P在均匀区域内满足泊松方程β=－卫，在两区域的分界面上满81足边值关系：P, =P0=an1要确定电场，还必须在区域的边界处满足边界条件。唯一性定理a当区域V内自由电荷和区域V的边界上电势PIs或电势的法向导数Onls给定时，则该区域内静电场的分布唯一确定

电动力学 第二章 当区域V内自由电荷和区域V的边界上电势 或电势的法向导数 给定时，则该区域内静电场的分布唯一确定。 S  n S   唯一性定理 对于可以均匀分区的区域V，设区域内有给定的自由电荷分布 ， 电势 在均匀区域内满足泊松方程 ，在两区域的分界面上满 足边值关系： 要确定电场，还必须在区域的边界处满足边界条件。 ( ) x  2 i     = −   i j = i j n n i j           =          

电动力学第二章唯一性定理aC当区域V内自由电荷和区域V的边界上电势?或电势的法向导数onls给定时，则该区域内静电场的分布唯一确定。唯一性定理的证明：

电动力学 第二章 当区域V内自由电荷和区域V的边界上电势 或电势的法向导数 给定时，则该区域内静电场的分布唯一确定。 唯一性定理 S  n S   唯一性定理的证明：

电动力学第二章唯一性定理a当区域V内自由电荷和区域V的边界上电势ls或电势的法向导数anls给定时，则该区域内静电场的分布唯一确定。若区域内有导体存在，还需给定每个导体的电势?或每个导体所带自由电荷Q，此时解才唯一确定。场方程和边界条件给定时，场有唯一正确的解

电动力学 第二章 若区域内有导体存在，还需给定每个导体的电势 或每个导体所带自 由电荷Q，此时解才唯一确定。 当区域V内自由电荷和区域V的边界上电势 或电势的法向导数 给定时，则该区域内静电场的分布唯一确定。 S  n S    唯一性定理 场方程和边界条件给定时,场有唯一正确的解

电动力学第二章例1一不带电的孤立导体球，半径为R，位于均匀电场E中，求电势函数。E分析：孤立导体球位于均匀电场中，球面必然出现感应电荷，相当于一些电偶极子对称地分布，激发电场。球内电场为零。球外电场为两部分电场的叠加。解：建立如图球坐标系0=0+02其中为外电场电势函数。为电偶极子产生的电势

电动力学 第二章 例1 一不带电的孤立导体球，半径为R，位于均匀电场 中，求 电势函数。 E0 孤立导体球位于均匀电场中，球面 必然出现感应电荷，相当于一些电 偶极子对称地分布，激发电场。 球内电场为零。 球外电场为两部分电场的叠加。 分析： E0 1 2    = + 解:建立如图球坐标系 其中 1 为外电场电势函数。 2 为电偶极子产生的电势。 O z

电动力学第二章例1一不带电的孤立导体球，半径为R，位于均匀电场E中，求电势函数。E解：建立如图球坐标系0=+92其中外电场电势函数为：p,=-E,rcos电偶极子产生的电势为：kcose2.2kcoseΦ=-E,rcoso

电动力学 第二章 1 0   = − E r c o s 2 2 k cos r   = 电偶极子产生的电势 为： 0 2 k co s E r co s r   = − +   例1 一不带电的孤立导体球，半径为R，位于均匀电场 中，求 电势函数。 E0 1 2    = + 解: 建立如图球坐标系 其中外电场电势函数 1 为： 2 E0 O z

电动力学第二章例1一不带电的孤立导体球，半径为R，位于均匀电场E中，求电势函数。试探解E解：试探解法kcosoo =-E,rcos0+边界条件：Φ =-Ercos0r→8r=R Φ=0解得: k = E,R30= -EorcosO +E,R3 COse此解为满足拉普拉斯方程的解。由唯一性定理，必为唯一正确的解。O

电动力学 第二章 例1 一不带电的孤立导体球，半径为R，位于均匀电场 中，求 电势函数。 E0 解: 3 0 0 2 cos cos E r E R r   = − +   3 0 k E R = 0 cos 0 r E r r R    →  = − = = 边界条件： 0 2 c o s c o s k E r r    = − + 解得： 此解为满足拉普拉斯方程的解。由唯一性定理，必为唯一正确的解。 试探解法 E0 O z

电动力学第二章例2两同心导体球壳间充以两种介质，左半部电容率为81，右半部电容率为&2。设内球壳带总电荷Q，外球壳接地。求电场及球壳上电荷分布。解：由电荷分布的对称性，显然球壳内外电场都为零。对于球壳间，应用高斯定理得：f,D.ds=Q[,8E, dS, + [, 6,E, dS, = Q由介质交界面上的边值关系Et, = E2t D2n = DinE, = E2t=E, D2n = Dn, = 0

电动力学 第二章 例2 两同心导体球壳间充以两种介质，左半部电容率为ε1，右半部电 容率为ε2。设内球壳带总电荷Q，外球壳接地。求电场及球壳上电荷 分布。 S D d S Q  =  由电荷分布的对称性,显然球壳内外电场都 为零。对于球壳间，应用高斯定理得: 解: 由介质交界面上的边值关系 1 2 2 1 t t n n E E D D = = 1 2 1 2 1 = 0 t t n n E E E D D = = = 1 2 1 1 1 2 2 2 S S   E d S E d S Q  +  =  

电动力学第二章例2两同心导体球壳间充以两种介质，左半部电容率为81，右半部电容率为&。设内球壳带总电荷Q，外球壳接地。求电场及球壳上电荷分布。解: [,8,E, dS, +I,8,E, ds, = Q2元r2(6) +62)E,= Q0rE2元(g+6)rQrE2元(g+8)r满足场方程和边界条件，是唯一正确的解

电动力学 第二章 1 3 1 2 2 ( ) Q r E    r  = + 1 2 1 1 1 2 2 2 S S   E d S E d S Q  +  =   满足场方程和边界条件，是唯一正确的解。 解: 2 1 2 1 2 ( )    r E Q + = 2 3 1 2 2 ( ) Q r E    r = + 例2 两同心导体球壳间充以两种介质，左半部电容率为ε1，右半部电 容率为ε2。设内球壳带总电荷Q，外球壳接地。求电场及球壳上电荷 分布